Dinàmica

Sistemes de partícules

Dinàmica d'un
sistema de partícules

Sistemes aïllats

Un bloc llisca
sobre una falca mòbil

El problema de dos
cossos

Moviment del c.m.
i de les partícules (I)

Moviment del c.m.
i de les partícules (II)

Un model de saltador

Activitats

En aquesta pàgina continuem amb l'estudi del sistema format per dues partícules unides per una molla elàstica. Recordarem de nou que:

El moviment de cada partícula està determinat per l'acció de les forces exteriors al sistema i de les forces d'interacció de les altres partícules del sistema sobre la partícula considerada.

El centre de masses d'un sistema de partícules es mou com si fóra una partícula de massa igual a la massa total del sistema sota l'acció de la resultant de les forces exteriors aplicades al sistema.

Quan un sistema és aïllat el centre de masses es mou amb velocitat constant. Les partícules es mouen sota l'acció de les forces interiors o d'interacció mútua.

Descripció

Considerem un sistema de partícules que consta d'una molla en posició horitzontal que té una massa M en l'extrem esquerre (color blau) i una massa m en l'extrem dret (color roig).

La partícula de massa M està recolzada en una paret vertical. La molla de constant k, i de longitud l quan no està deformarda, es comprimeix una longitud d de manera que la longitud inicial de la molla és l-d.

Una vegada es deixa anar la molla, después de haver-la comprimit, observarem el moviment de cada partícula i el centre de masses (c.m.) del sistema de dues partícules, que consta de dues etapes:

1.  Quan la partícula de l'esquerre, de massa M, està en contacte amb la paret i, per tanto, en repòs, el sistema no és aïllat ja que actaa una força exterior, la força N que fa la paret sobre la partícula.

2.   Quando la partícula de massa M deixa de tenir contacte amb la paret el sistema és aïllat i el centre de masses es mou amb velocitat constant.

Primera etapa

Sobre les partícules del sistema actuen: Una força exterior N, la reacció de la paret sobre la qual es recolza la partícula de la dreta.   Les forces d'interacció mútua, F = k(l-x), iguals i de sentit contrari en cadascuna de les partícules, com es mostra en la figura.

• Partícula de la dreta (de massa m)

Aquesta equació es pot escriure

La solució d'aquesta equació diferencial, com es pot comprovar per simple substitució, és de la forma

Les constants A i B es calculen a partir de les condicions inicials. En l'instant t = 0 la molla s'ha comprimit una longitud d, la posició de la partícula de la dreta (de massa m) és x = l-d, i la seua velocitat inicial és dx/dt = 0. La posició de la partícula en funció del temps és

x = l - d·cos(ω₁·t)

Si derivem respecte del temps n'obtenim la velocitat

v_m= d·ω₁·sin(ω₁·t)

• Partícula de l'esquerre (de massa M)

La partícula de l'esquerre està en equilibri en l'origen. La reacció de la paret, com es pot veure en la parte inferior de la figura, és

N = k(l-x) = kd·cos(ω₁·t)

• Centre de massa (c.m.)

La posició i velocitat del c.m. són

Final de la primera etapa

S'acaba la primera fase quan la partícula de l'esquerre (de massa M) deixa de tenir contacte amb la paret, la reacció N és zero. Això ocorre en l'instant t₀ tal que

• La posició de la partícula de la dreta és x = l, la seua velocitat és v_m= d·ω₁
• La posició de la partícula de l'esquerre és y = 0, la seua velocitat és v_M = 0
• La posició i la velocitat del c.m. són, respectivament,

Energies

L'energia inicial del sistema, quan la molla està comprimit una longitud d, és kd²/2.

En la situació final:

• la molla està sense deformar, x = l
• la partícula de l'esquerre està en repòs
• la partícula de la dreta (de massa m) es mou amb velocitat v_m= d·ω₁

L'energia potencial elàstica s'ha transformat en energia cinètica de la partícula de massa m.

Impuls i moment lineal

El moment lineal del sistema és:

• inicialment, zero
• final: m·v_m

La força exterior N que fa la paret sobre el sistema actua durante un temps t0. L'impuls de la força N produeix un canvi m·vm en el moment lineal total del sistema.

Segona etapa del moviment

En aquesta fase del moviment la força exterior N és nul·la i sobre cadascuna de les partícules actua una força interna F = k[l - (x-y)], on (x-y) és la longitud de la molla deformada i l és la longitud de la molla sense deformar. Com que no actua cap força exterior sobre el sistema de dues partícules, el sistema és aïllat.

En la figura es mostra:

• en la parte superior, la molla quan està sense deformar
• en la parte intermèdia, la molla quan està comprimida. Com que (x-y) és menor que l la força F és positiva per a la partícula de la dreta (de massa m) i és negativa per a la partícula de l'esquerre (de massa M)
• en la parte inferior, la molla quan està estirada. Com que (x-y) és major que l la força F és negativa per a la partícula de la dreta (de massa m) i és positiva per a la partícula de l'esquerre (de massa M)

Les equacions del moviment per a cadascuna de les dues partícules són,

• Moviment del centre de massa

Si sumem les dues equacions tenim

L'acceleració del c.m. és zero, el centre de massa es mou amb velocitat constant. Com que el sistema format per les dues partícules és aïllat, ja que la força exterior N és nul·la, l'acceleració del c.m.és nul·la, la velocitat del c.m. és constant i igual a la velocitat inicial, en l'instante t₀,

El moviment del c.m.és uniforme, la seua posició és z = z₀+ v_cm·(t-t₀), on z₀ és la posició inicial en l'instant t₀, que hem calculat en l'apartat anterior

• Moviment relativo de les dues partícules

Si multipliquem la primera equació diferencial per M i la segona per m i restem les dues equacions diferencials obtenim

o bé

on ξ = x-y és la posició relativa de les dues partícules. Aquesta equació ens diu que el moviment relatiu de les dues partícules és equivalent al moviment d'una partícula de massa reduïda μ = mM/(m+M) sota l'acció de la força que descriu la interacció mútua F = k(l-ξ),

La solució d'aquesta equació diferencial, com es pot comprovar per simple substitució és

Les constantes A i B es determinen a partir de les condicions inicials. En l'instant t = t₀,

• la posició de les partícules és x = l, y = 0, i per tant ξ = x-y = l
• la velocitat inicial de les partícules és dx/dt = ω₁·d, dy/dt = 0, i per tant dξ/dt = ω₁·d

Si fem algunes operacions arribem a

Moviment de cadascuna de les dues partícules

Coneixem la posició z = (mx+My)/(m+M) del c.m., i la posició relativa ξ = x-y de les partícules, en funció del temps τ = t-t₀

Aïllem x i y d'aquest sistema de dues equacions amb dues incògnites

Podem comprovar que en l'instant τ = 0, (t = t₀), les posicions inicials són x = l, y = 0.

Les velocitats de les partícules en qualsevol instant τ = t - t₀ són

Comprovem que en l'instant τ = 0, (t = t₀), les velocitats inicials són  dx/dτ = ω₁·d, dy/dτ = 0

Energies

L'energia cinètica de les partícules és

Com que la deformació de la molla és l - (x-y), l'energia potencial d'interacció entre les dues partícules és

L'energia total U del sistema de partícules és la suma de les dues contribucions

que és l'energia inicial de la molla comprimida una longitud d.

Com que el treball de la força exterior N és zero (ja que la partícula de massa M no es desplaça mentre N és distint de zero), l'energia U del sistema de dues partícules unides per un molla elàstica roman constant i igual a l'energia inicial.

L'energia inicial de la molla comprimida una longitud d es transforma en energia cinètica de la partícula de massa m quan finalitza la primera etapa del moviment, i en energia cinètica i potencial del sistema aïllat format per les dues partícules unides per una molla elàstica.

Activitats

S'introduix:

• La massa m de la partícula situada a la dreta (en color roig), en el control d'edició Massa dreta
• La massa M de la partícula situada a l'esquerre (en color blau), en el control d'edició Massa esquerre
• La constant k de la molla elàstica, en el control d'edició Constant molla
• La longitud l de la molla sense deformar s'ha fixat en el programa interactiu en l = 0.25 m

Es pitja el botó Inici.

Si actuem amb el punter del ratolí sobre la partícula de color roig comprimim la molla una longitud d (situació inicial).

Es pitja el botó Comença.

Observem el moviment de les dues partícules (roja i blava) i el del centre de massa del sistema (en color negre). En la part superior de la miniaplicació (applet) es representa la posició de cada partícula i la del c.m.en funció del temps t.

Podem distingir les dues etapes del moviment:

1. En la primera etapa, la partícula de l'esquerre està en repòs, en contacte amb la paret vertical. Una fletxa de color negre assenyala la força exterior N que fa la paret sobre el sistema.
2. En la segona etapa, el sistema és aïllat, observem el moviment de les partícules sota l'acció de la seua interacció mútua.

Per a tornar a començar una altra experiència es pitja el botó Inici.

Exemple

• Massa de la partícula de la dreta, m = 1 kg
• Massa de la partícula de l'esquerre, M = 4 kg
• Constant elàstica de la molla, k = 500 N/m

Es pitja el botó Inici.

Es comprimeix la molla una distància d = 0.15 m fins que la posició de la partícula de la dreta és x = 0.1 m.

Es pitja el botó Comença.

Al cap d'un temps t₀ la partícula de la dreta deixa de tenir contacte amb la paret, N = 0,

En aquest instant, la posició:

• de la partícula de la dreta és x = 0.25
• la de l'esquerre és y = 0.0
• del centre de massa és

                                       

La velocitat:

• de la partícula de la dreta és v_m= d·ω₁ = 0.15·22.36 = 3.35 m/s
• de la partícula de l'esquerre és v_M= 0
• del centre de masses és

                                     

Aquesta és la velocitat constant del c.m.del sistema en la segona etapa del moviment.

L'energia del sistema de partícules és U = kd²/2 = 500·0.15²/2 = 5.63 J, que és constant.