Dinàmica

Sistemas de partícules

Dinàmica d'un
sistema de partícules

Sistemes aïllats

Un bloc llisca
sobre una falca mòbil

El problema de dos
cossos

Moviment del c.m.
i de les partícules (I)

Moviment del c.m.
i de les partícules (II)

Un model del saltador

Activitats

Referències

En la figura es mostra de forma esquemàtica l'evolució temporal d'un salt. El saltador parteix de la posició alçada, fa un moviment cap a baix flexionant els genolls i salta. L'energia dels músculs en tensió es converteix primer en energia cinètica i, toto seguit, en energia potencial quan el saltador arriba l'altura màxima.

En aquesta pàgina s'estudia un model simple de saltador consistent en dues partícules de masses m (superior) i M (inferior) unides per una molla elàstica de constant k en posició vertical. Aquest model ens permet continuar amb l'estudi de la dinàmica d'un sistema de partícules. Recordarem de nou que:

El moviment de cada partícula està determinat per l'acció de les forces exteriors al sistema i de les forces que fan les altres partícules del sistema sobre la partícula considerada.

El centre de masses d'un sistema de partícules es mou com si fóra una partícula de massa igual a la massa total del sistema i sota l'acció de la resultant de les forces exteriors aplicades al sistema.

Descripció

Situació inicial

La molla te una longitud l quan no està deformada. Si la col·loquem en posició vertical amb la partícula de massa m situada en la part superior, la molla es comprimeix.

La partícula de massa m està en equilibri sota l'acció de dues forces, el pes mg i la força k(l-x) que fa la molla deformada, com podem veure en la figura. mg = k(l-x)

La deformació de la molla és, per tant, l-x = mg/k, on x és la posició de la partícula superior respecte a l'origen situat en el terra.

Comprimim la molla una longitud addicional d i la deixem anar. La posició inicial de la partícula de massa m és x = l-mg/k-d, i la seua velocitat inicial dx/dt = 0.

Energies

Establim el nivell zero de l'energia potencial en el terra. L'energia inicial del sistema de partícules es compon de dos termes:

• L'energia potencial elàstica de la molla deformada d+mg/k

• L'energia potencial de la partícula de massa m, que està a una altura x = l-mg/k-d sobre el terra

L'energia inicial E₀ del sistema de partícules és

Una vegada es deixa anar la molla, després d'haver-la comprimit, observarem el moviment de cadascuna de les partícules i del centre de masses (c.m.) del sistema; aquest moviment consta de dues etapes:

1.  Quan la partícula inferior de massa M està en contacte amb el terra i, per tant, en repòs.

2.   Quan la partícula de massa M deixa de tenir contacte amb el terra.

Primera fase del moviment

Les forces que actuen sobre el sistema de partícules són exteriors i interiors al sistema:

·        La reacció N del terra sobre la qual es recolza la partícula inferior i el pes de cadascuna de les partícules mg i Mg ·        Les forces d'interacció mútua F = k(l-x), iguals i de sentit contrari, com es mostra en la figura.

• Dinàmica de la partícula superior (de massa m)

Sobre aquesta partícula actuen les forces següents

• el seu pes mg
• la força que fa la molla deformada, k(l-x), on x és la posició de la partícula

L'equació del moviment és

Aquesta ecuació es pot escriure

La solució d'aquesta equació diferencial, com pots comprovar per simple substitució, és de la forma

Les constants A i B es calculen a partir de les condicions inicials. En l'instant t = 0 la posició de la partícula superior és x = l-mg/k-d, i la seua velocitat és dx/dt = 0. La posició de la partícula superior (de massa m) en funció del temps és

La seua velocitat és v_m= d·ω₁·sin(ω₁·t)

• Partícula inferior (de massa M)

Sobre la partícula inferior actuen les forces següents:

• El pes Mg
• La força N que fa el terra
• La força que fa la molla deformada, k(l-x)

La partícula inferior està en equilibri en l'origen,

N = Mg+k(l-x) = (m+M)g+kd·cos(ω₁·t)

• Centre de massa (c.m.)

La posició i la velocitat del c.m. són, respectivament,

Final de la primera fase del moviment

S'acaba la primera fase quan partícula inferior (de massa M) deixa de tenir contacte amb el terra i la reacció N és zero. Això ocorre en l'instant t₀ tal que

Com que el cosinus no pot ser major que la unitat en valor absolut, per tal que N siga zero s'ha de complir que

(m+M)g ≤ kd

La deformació addicional d que le donem a la molla quan la comprimim ha de ser suficientement gran per tal que es complisca la desigualtat anterior. En el cas que no es complisca, la partícula inferior roman en repòs en l'origen i la partícula superior descriu un Moviment Harmònic Simple d'amplitud d.

Si es compleix la desigualtat, en l'instant t₀:

• La posició de la partícula superior és x = l+Mg/k i la seua velocitat és v_m= dω₁·sin(ω₁·t₀)
• La posició de la partícula inferior és y = 0, la seua velocitat és v_M= 0

Per a un sistema de partícules,

W_ext= U_f - U_i

La força exterior N no fa treball, ja que actua sobre una partícula que està en repòs. El pes és una força conservativa i per tant el treball de la força exterior pes és igual a la diferència entre l'energia potencial inicial i la final

W_ext= E_pi - E_pf

Tenim, per tant, que U_i+ E_pi = U_f + E_pf = constant

L'energia U del sistema de partícules és la suma de l'energia cinètica de les dues partícules més l'energia potencial que descriu la interacció entre les dues partícules.

La partícula inferior de massa M està en l'origen, en repòs. La posició de la partícula superior (de massa m) és x, i la seua velocitat és dx/dt; la deformació de la molla és l-x. El principi de conservació de l'energia par a aquest sistema de partícules s'escriu

L'energia E₁ del sistema de partícules, quan acaba la primera fase del moviment, está formada per tres termes:

• L'energia potencial de la partícula superior, de massa m, que està en la posició x = l+Mg/k
• L'energia cinètica de la partícula superior, que du una velocitat v_m= d·ω₁·sen(ω₁·t₀)
• L'energia elàstica de la molla, que s'ha deformat una longitud l-x = -Mg/k

Si fem algunes operacions es comprova que l'energia E₁ al final de la primera etapa és igual a l'energia inicial E₀.

• El moment lineal inicial del sistema és zero
• El moment lineal final del sistema és m·v_m

La resultant de les forces exteriors, N-mg-Mg, actua durant un temps t0. El seu impuls produeix un canvi m·vm en el moment lineal total del sistema.

Segona fase del moviment

En aquesta fase del moviment la força exterior N és nul·la i sobre cadascuna de les partícules actua una força interna F = k[l-(x-y)] i una força exterior que és el seu pes. (x-y) és la longitud de la molla deformada i l és la longitud de la molla sense deformar.

Les equacions del moviment són, per tant,

• Moviment del c.m. del sistema de partícules

Si sumem les dues equacions tenim

on z és la posició del centre de masses,

El centre de masses es mou com una partícula la massa de la qual és igual a la total del sistema (m+M) sobre la qual actua la resultant de les forces externes (m+M)g.

Com que l'acceleració del c.m. és constant i igual a g, el seu moviment és uniformement accelerat. La seua posició inicial z₀ i velocitat inicial v₀ en l'instant t₀, les hem calculat en l'apartat anterior,

Les equacions del moviment del centre de massa són

• Moviment relatiu de les dues partícules

Si multipliquem la primera equació diferencial per M i la segona per m, i restem les dues equacions diferencials obtenim

o bé

on ξ = x-y és la posició relativa de les dues partícules, on μ = mM/(m+M) és la massa reduïda del sistema format per les dues partícules, arribem a l'equació diferencial següent

La solució d'aquesta equació diferencial, com es pot comprovar per simple substitució, és

Les constants A i B es determinen a partir de les condicions inicials.

En l'instant t = t₀,

•  la posició de les partícules és x = l+Mg/k, y = 0, i per tant ξ = x-y = l+Mg/k
• la velocitat inicial de les partícules és dx/dt = ω₁d·sin(ω₁t₀), dy/dt = 0, i per tant dξ/dt = ω₁d·sin(ω₁t₀)

L'equació del moviment relatiu de les dues partícules és

Coneixem la posició del c.m. z i la posició relativa ξ = x-y de les partícules en funció del temps. Del sistema de dues equacions aïllem x i y,

L'energia en l'instante t > t₀ es compon de la suma dels termes següents:

• L'energia potencial de la partícula superior, de massa m, que està en la posició x
• L'energia cinètica de la partícula superior, que du una velocitat dx/dt
• L'energia potencial de la partícula inferior, de massa M, que està en la posició y
• L'energia cinètica de la partícula inferior, que du una velocitat dy/dt
• L'energia elàstica de la molla, que s'ha deformat una longitud l-(x-y)

Si fem operacions i simplifiquem podem comprovar que l'energia E₂ és igual a l'energia inicial E₀.

Activitats

S'introdueix:

• La massa m de la partícula situada en la part superior (en color roig) en el control d'edició Massa superior
• La massa M de la partícula situada en la part inferior (en color blau), en el control d'edició Massa inferior
• La constant k de la molla elàstica, en el control d'edició Constant molla
• La longitud l de la molla sense deformar està fixada pel programa interactiu en 0.5 m

Es pitja el botó Inici.

La molla es comprimeix degut al pes de la partícula de massa m situada al damunt.

Actuem amb el punter del ratolí sobre la partícula de color roig i comprimim la molla una longitud addicional d.

Es pitja el botó Comença.

Observem el moviment de les dues partícules (roja i blava) i el del centre de massa del sistema (en color negre). Podem distingir les dues etapes del moviment:

• En la primera etapa la partícula situada en la part inferior (color blau) està en repòs en contacte amb el terra. Una fletxa de color negre assenyala la força N que fa ejerce el terra sobre la partícula.
• En la segona etapa observem el moviment de les partícules sota l'acció del seu pes i de la força que descriu la seua interacció mútua.

Exemple

• Massa de la partícula superior m = 4 kg
• Massa de la partícula inferior M = 1 kg
• Constant elàstica de la molla k = 750 N/m

Es pitja el botó Inici.

El pes de la partícula superior comprimeix la molla mg/k = 0.052 m. La posició d'aquesta partícula és x = l-mg/k = 0.45 m.

Es comprimeix la molla una distància d = 0.2 m fins que la posició de la partícula superior siga x = 0.25 m.

Es pitja el botó Comença.

La freqüència angular ω₁ val

La partícula inferior deixa de tenir contacte amb el terra, N = 0, en l'instante t₀:

La posició del c.m. en aquest instant és

La velocitat del c.m. en aquest instant és

El centre de masses arriba a l'altura máxima en l'instant t tal que v = 0,

0 =v₀ - g·(t-t₀)

En l'instante t = 0.23+0.12 = 0.35 s el c.m. arriba a l'altura màxima de

z = z₀+ v₀(t-t₀) - g(t-t₀)²/2

z = 0.66 m

La freqüència angular ω₂ val

La posició relativa ξ = x-y de les partícules es calcula mitjançant l'expressió

Coneguda la posició z del c.m i la posició relativa ξ de les partícules podem calcular la posició de cada partícula: