Dinàmica

Sistemes de partícules

Dinàmica d'un
sistema de partícules

Sistemes aïllats

Un bloc llisca 
sobre una falca mòbil

El problema de dos
cossos

Moviment del c.m.
i de les partícules (I)

Moviment del c.m.
i de les partícules (II)

Un model de saltador

Sistema de partícules

Activitats

Referències

En aquesta pàgina s'estudia el moviment d'un cos que llisca al llarg d'un pla inclinat que, a la vegada, es mou sense fricció sobre una superfície horitzontal. Aquest és un problema clàssic en un curs de Física General.

El pla inclinat és una falca de massa M que forma un angle θ amb l'horitzontal. Un cos de massa m llisca sobre el pla inclinat. El coeficient de fregament entre les dues superfícies en contacte és μ.

• L'acceleració del bloc respecte de la falca és a_m, la seua direcció és paral·lela al pla inclinat

• L'acceleració de la falca respecte de Terra és a_M, en la direcció horitzontal

Suposem inicialment que a_M té el sentit cap a la dreta (positiu). Com veurem, la conservació del moment lineal o les equacions del moviment ens donaran el sentit correcte, cap a l'esquerra (negatiu).

Descripció

En la figura es mostren les forces sobre cadascun dels dos cossos i les seues acceleracions.

Sobre el bloc actuen

• El pes mg

• La reacció N del pla inclinat

• La força de fregament, F_r, que s'oposa al seu moviment cap a baix al llarg del pla inclinat

Les equacions del moviment del bloc són:

1. Al llarg de l'eix horitzontal, l'acceleració del bloc respecte del terra és (a_m·cosθ + a_M)

N·sinθ - F_r·cosθ = m(a_m·cosθ + a_M)       (1)

2. Al llarg de l'eix vertical, l'acceleració del bloc respecte de Terra és a_m·sinθ

mg - N·cosθ - F_r·sinθ = m·a_m·sinθ           (2)

3. Si μ és el coeficient de la força de fregament,

F_r = μ·N

Sobre la falca actuen

• El pes Mg en el seu centre de masses

• Per la tercera llei de Newton, les forces que fa la falca sobre el bloc són iguals i de sentit contrari a les que fa el bloc sobre la falca.

• La reacció R del pla horitzontal al llarg del qual llisca la falca sense fregament.

Al llarg de l'eix horitzontal l'equació del moviment és

F_r·cosθ - N·sinθ = M·a_M       (3)

Al llarg de la direcció vertical la falca està en equilibri.

Sumant la primera i la tercera equació obtenim la relació entre les acceleracions a_m i a_M.

m(a_m·cosθ + a_M) + M·a_M = 0

L'acceleració de la falca a_M és de sentit contrari al assenyalat en les figures.

Aïllem del sistema d'equacions l'acceleració a_m del bloc respecte de la falca i l'acceleració de la falca respecte del terra, a_M.

En la figura es representa a_M en funció de l'angle θ per a dos valors del coeficient de fregament μ = 0 (quan no hi ha fregament) i μ = 0.4. Veiem que a_M presenta un màxim per a un angle θ_m. Quan μ ≠ 0 a_M és positiu a partir de determinat angle θ₀. Aquest angle és precisament el que fa tanθ₀ = μ.

Per exemple, quan μ = 0.4, θ₀ = 22º. Evidentement, quan no hi ha fregament, μ = 0, θ₀= 0º.

En l'estudi del moviment d'un cos al llarg d'un pla inclinat d'angle θ, ja es va posar de manifiest que el cos llisca amb velocitat uniforme justament quan tanθ = μ. Per a angles majors el cos llisca amb moviment accelerat.

De les equacions del moviment rectilini uniformement accelerat obtenim la velocitat i el desplaçament dels cossos:

• La velocitat del bloc respecte de la falca és v_m= a_m·t, suposant que parteix del repòs.

• El desplaçament del bloc sobre la falca és x_m= a_m·t²/2

• La velocitat de la falca respecte del terra és v_M= a_M·t

• El desplaçament de la falca al llarg del pla horitzontal és x_M = a_M·t²/2

El bloc arriba al vértex de la falca en l'instant

on l és el desplaçament total del bloc al llarg de la falca.

• La falca es mou en el pla horitzontal a partir d'aquest instant amb velocitat constant

v_M=a_M·t_m

• El bloc es mou en el pla horitzontal amb velocitat constant respecte del terra,

V_m= v_M+ a_m·t_m·cosθ

Sistema de partícules

Podem considerar el bloc i la falca com un sistema de dues partícules interactuants.

Les forces interiors o d'interacció mútua són

• La reacció N

• La força de fregament entre les dues superfícies F_r

Les forces interiors que actuen sobre cada cos són iguals i de sentit contrari.

Les forces exteriors, com es mostra en la figura, són:

• Els pesos mg i Mg, que actuen sobre el centre de masses de cadascun dels cossos

• La força R que fa el pla horitzontal sobre la falca

El sistema està verticalment en equilibri de manera que R = mg+Mg. La posició d'aquesta força depén de la posició del bloc sobre la falca i de les masses del bloc M i de la falca m.

Al llarg de l'eix horitzontal no hi ha força exterior.

• La component horitzontal de l'acceleració del centre de masses és zero, la velocitat horitzontal del centre de masses és constant.

• Si en l'instant inicial el centre de masses estava en repòs, la component X_c no canviarà al llarg del moviment del bloc i la falca..

Com que el moment lineal inicial és zero, la component del moment lineal al llarg de l'eix horitzontal, px, també serà zero, M·vM+ m(vM+ vm·cosθ) = 0

Si derivem respecte del temps obtenim la relació entre les acceleracions a_m i a_M.

Activitats

S'introdueix:

• L'angle θ del pla inclinat, actuant en la barra de desplaçament Angle

• El coeficient de fregament μ entre el bloc i el pla inclinat, en el control d'edició Coef. fregament

• El quocient entre les masses del bloc i de la falca, m/M, en el control d'edició Massa bloc/falca

Es pitja el botó Nou.

Si les dades introduïdes són correctes, és a dir, si es compleix que tanθ > μ, es pitja el botó Comença. En cas contrari, un missatge ens avisa que hem de disminuir el coeficient de fregament o augmentar l'angle del pla inclinat.

S'observa el moviment de la falca i el moviment del bloc al llarg del pla inclinat, i també la posició del c.m. del bloc i de la falca i la posició del c.m. del sistema format pels dos cossos. Comprovem que el c.m. del sistema està en repòs horitzontalment, la coordenada X_c no canvia.

En la part superior de la miniaplicació (applet) se'ns proporcionen les dades del temps, acceleració, velocitat i posició del bloc respecte de la falca, i de la falca respecte del terra. Quan el bloc acaba el seu moviment sobre la falca i llisca sobre el pla horitzontal sense fregament les posicions i les velocitats es refereixen al terra.

Com que l'objectiu del programa interactiu és la mesura de la posició, velocitat i acceleració de la falca, s'ha invertit el sentit del moviment respecte de l'explicació donada en el text. L'acceleració, velocitat i posició de la falca són positius i els del bloc són negatius.

Exemple

Siga:

• quocient entre la massa del bloc i de la falca, m/M = 0.7

• coeficient de fregament, μ = 0.4

• angle del pla inclinat, θ = 30º

Calculem l'acceleració a_m del bloc respecte a la falca.

Calculem l'acceleració a_M de la falca respecte del terra:

El temps que tarda el bloc en recórrer el pla inclinat de longitud l = 1 m és

La velocitat de la falca en aquest instant és

v_M= a_M·t_m = -0.79 m/s

La velocitat del bloc respecte de la falca en aquest instant és

v_m= a_m·t_m= 2.20 m/s

La velocitat del bloc respecte del terra a partir d'aquest instant és

V_m= v_m·cosθ + v_M = 1.12 m/s