Dinàmica

Col·lisions

Carro que dispara
un projectil

Caigua lliure i
rebots succesius

Bola que rebota 
sobre un pistó

Xocs frontals

Xocs frontals
elàstics

Xocs frontals
verticals

Xoc inelàstic
de duració finita

Pèndol balístic

No es conserva el
moment lineal

Xoc entre una 
partícula i un bloc
unit a una molla

Xocs bidimen-
sionals

Conservació del 
moment lineal

Cadena de n-boles en contacte

Simulació

Propagació de la pertorbació

Activitats

Referències

El bressol de Newton és un dispositiu que s'usa per a demostrar la llei de conservació del moment lineal, tot i que les lleis de conservació del moment lineal i de l'energia no són suficients per a explicar el comportament d'una cadena consistent en més de dues boles.

Un conjunt de boles elàstiques suspeses, en fila i en contacte les unes amb les altres, es pot descriure com un sistema de masses puntuals que interaccionen a través de molles especials. L'exponent de la llei de la força en funció del desplaçament és 1.5, d'acord amb la teoria de Hertz.

Xoc de dues boles

Considerem primer el cas més simple, la col·lisió entre una bola de massa m incident amb velocitat v contra una altra bola idèntica que està en repòs.

Per la conservació del moment lineal

mv = mv₁+ mv₂

Per la conservació de l'energia

La solució d'aquest sistema de dues equacions amb deus incògnites és

v₂ = 0, v₁ = v, que són les dades de partida i v₂= v, v₁= 0.

En un xoc de dues boles idèntiques, una de les quals està en repòs, hi ha un intercanvi de moment lineal; la primera li'l cedeix a la segona i queda aquella en repòs.

En una successió de boles, la primera xoca amb la segona, la segona bola xoca amb la tercera, etc. El moment lineal de la bola incident és transfereix a la següent i així successivament. Això tan sols ocorre si les boles no estan en contacte; en cas contrari el comportament és complex.

La teoria de la col·lisió entre dues esferes elàstiques es deu a H. Hertz i s'explica en el Volum 7 del Curs de Física Teòrica de Landau i Lifshitz. La conclusió és que la llei de la força d'interacció no és lineal

• on k està relacionat amb el mòdul de Young, el coeficient de Poisson del material elàstic i el radi de la bola. Per a una bola d'acer de 5 cm de radi, k = 1.638·10¹⁰ N/m^3/2;

• x és la deformació, x = 2·R - d, on R és el radi de les boles i d la distància entre centres.

Cadena de n-boles en contacte

En aquest apartat descriurem les equacions del moviment del centre de masses (c.m.) de cadascuna de les boles, que formen part d'una cadena de n boles elàstiques en contacte.

Considerem les forces entre dues partícules unides per una molla elàstica.

En la part superior es mostra la molla sense deformar i en la part inferior la molla comprimida (a l'esquerre) i estirada (a la dreta). Les deformacions de les molles són Δx = x - x₀, on x és la posició de la primera partícula (blava) quan la molla s'ha deformat, i x₀ és la posició d'aquesta partícula quan la molla està sense deformar. El mateix s'ha de dir de Δy. La fprça d'interacció és el producte de la constant k de la molla per la deformació de la molla o diferència entre la longitud sense deformar i la longitud de la molla deformada, k(|Δx|+|Δy|) .

Considerem un conjunt de cinc partícules unides per molles elàstiques, en un instant inicial en el qual les molles estan sense deformar (dalt), i (baix) en un instant en el qual la primera partícula s'ha desplaçat x₁, la segona x₂, la tercera x₃, la quarta x₄ i la cinquena x₅. Les forces sobre cadascuna de les partícules s'indiquen en la figura, i s'assenyalen els parells de forces: la primera partícula fa una força sobre la segona i la segona fa una força igual i de sentit contrari sobre la primera.

Suposem que les molles no són lineals i el seu comportament està d'acord a una llei de força l'exponent de la qual és r = 3/2. Les equacions del moviment de cadascuna de les partícules són

Sumem membre a membre i comprovem que l'acceleració del centre de masses és zero, com correspon a un sistema aïllat format per cinc partícules interactuants.

L'exemple d'una cadena de cinc boles es pot generalitzar a una cadena de n boles:

Tenim un sistema de n equacions diferencials acoblades que es resolt per procediments numèrics amb les condicions inicials següents.

En l'instant t = 0,

• totes les partícules estan en les posicions d'equilibri, x_i= 0, i = 1...n

• totes les partícules estan en repòs, llevat de la partícula incident que du una velocitat v en l'instant t = 0 en el qual xoca amb la segona partícula, v₁= v, v_i = 0,  i = 2…n

Simulació

La simulació del comportament de la cadena de n-boles idèntiques s'ha dividit en tres parts:

1. Es desplaça la primera bola de la posició d'equilibri i s'amolla. Si el c.m.de la bola ascendeix una altura h, la velocita v de la primera bola en el moment que xoca amb la segona bola en repòs és

La bola incident que penja d'un fil de longitud l es comporta com un pèndol, descriu un MHS d'amplitud θ0 tal que h = l - l·cosθ0 L'equació del MHS és θ = -θ0cos(ωt), amb

La primera bola xoca amb la segona quan ωt = π/2.

2. Una vegada la bola incident entra en contacte amb la segona bola es resol el sistema d'equacions diferencials acoblades per a determinar el desplaçament de cadascuna de les boles i les seues velocitats.

Es representa en l'eix horitzontal el temps, en 10^-4 s, i en l'eix vertical:

• La velocidad del c.m. en (m/s) de cadascuna de les boles en funció del temps. La velocitat de la primera bola disminueix i tendeix cap a un valor pròxim a zero; la velocitat de la segona bola augmenta i després disminueix; la velocitat de la darrera bola augmenta fins un valor pròxim a la velocitat de la bola incident.

• La resultant de les forces, en 10³ N, sobre cadascuna de les boles.

• El desplaçament x_i, en 10^-5 m, del c.m. de cadascuna de les boles, en funció del temps.

3. La darrera bola arriba a una velocitat v_n en el moment que se separa de la penúltima bola n-1. Igual que ocorre amb un pèndol, la seua energia cinètica es converteix en energia potencial quan arriba al màxim desplaçament angular,

La bola final que penja d'un fil de longitud l es comporta com un pèndol, descriu un MHS d'amplitud θ0 tal que h’ = l - l·cosθ0 L'equació del MHS és θ = θ0sin(ωt)

Propagació de la pertorbació

El temps de propagació t_p de la pertorbació al llarg de la cadena es defineix com l'interval de temps que trascorre des del contacte entre la primera i la segona bola (t = 0) i l'instant de separació de les dues darreres boles, t_p, és a dir, l'instant de la intersecció del desplaçament de la penúltima bola x_n-1 i de la darrera bola x_n, com es veu en la figura.

En el laboratori el temps de propagació es pot mesurar de la manera següent: es posa en marxa un rellotge electrònic quan es tanca el circuit, en el moment que la primera i la segona bola entren en contacte. El rellotge s'atura quan s'interromp el pas del corrent elèctric entre la penúltima i la darrera bola, en el moment que deixen d'estar en contacte.

Activitats

S'introdueix:

• El nombre de boles, en el control de selecció núm. de boles.

Es pitja el botó Comença.

Observem les tres etapes de les que consta la simulació:

1. La bola incident, que s'ha desplaçat de manera que el seu centre està a una altura de 1 cm, s'amolla i es mou fins que xoca amb la segona bola. La seua velocitat en el moment del xoc és

2. Es calcula el desplaçament i la velocitat de cadascuna de les boles que formen la cadena. Es representa:

• El desplaçament de cada bola en funció del temps, activant el botó de radi Desplaçament.

• La velocitat de cada bola en funció del temps, activant el botó de radi Velocitat.

• La força neta que es fa sobre cadascuna de les boles, activant el botó de radi Força.

A la dreta de la miniaplicació (applet) es representa, mitjançant un diagrama de barres, l'energia cinètica del c.m.del sistema format per n-boles, i es compara amb l'energia cinètica inicial (rectangle de color negre). Veiem que l'energia cinètica disminueix ja que part de l'energia inicial es converteix en energia de deformació de les boles elàstiques i després augmenta fins que arriba al valor inicial. Les petites diferències es poden atribuir a la inexactitud dels procediments numèrics emprats.

Els canvis de color de la barra ens subministren una imatge visual de la propagació de la perturbació al llarg de la cadena de boles.

La segona barra representa el moment lineal del sistema format per n-boles; el moment lineal inicial està representat per un rectangle de color negre. El moment lineal es propaga al llarg de la cadena. El moment lineal final és aproximadament igual al moment lineal inicial.

3. La bola final es desplaça fins que el seu centre s'eleva a una altura h'.

Nota: Per a descriure les tres etapes s'han pres dues escales de temps. Per a descriure el moviment de la primera i darrera bola s'ha pres un interval de temps de 10^-3 s. Per a descriure el moviment de les n-boles en contacte s'ha pres un interval de 10^-6 s.