Dinàmica |
Sistemes de partícules
Sistemes aïllats Un bloc llisca sobre El problema de dos cossos Moviment del c.m.i de les partícules (I) Moviment del c.m. Un model de saltador |
Moment
lineal i impuls
Dinàmica d'un sistema de partícules |
|||||||||||
Moment lineal i impulsEl moment lineal d'una partícula de massa m que és mou amb una velocitat v és defineix com el producte de la massa per la velocitat p = mv Es defineix el vector força com la derivada del moment lineal respecte del temps,
La segona llei de Newton és un cas particular de la definició de força, quan la massa de la partícula és constant,
Aïllant dp en la definició de força i integrant,
A l'esquerra tenim la variació de moment lineal i a la dreta la integral que s'anomena impuls de la força F en l'interval que va de ti a tf.
En moltes situacions físiques s'empra l'aproximació de l'impuls. En aquesta aproximació se suposa que una de les forces que actuen sobre la partícula és molt gran però de durada molt curta. Aquesta aproximació és de gran utilitat quan s'estudien els xocs, per exemple, d'una pilota amb una raqueta o una pala. El temps de col·lisió és molt petit, de l'ordre de centèssimes o mil·lèsimes de segon, i la força mitjana que fa la pala o la raqueta és d'uns quants centenars o milers de newtons. Aquesta força és molt major que la gravetat, i per tant es pot utilitzar l'aproximació de l'impuls. Quan s'utilitza aquesta aproximació és important recordar que els moments lineals inicial i final es refereixen a l'instant abans i després de la col·lisió, respectivament.
Dinàmica d'un sistema de partículesSiga un sistema de partícules. Sobre cada partícula actuen les forces exteriors al sistema i les forces d'interacció mútua entre les partícules del sistema. Suposem un sistema format per dues partícules. Sobre la partícula 1 actua la força exterior F1 i la força que fa la partícula 2, F12. Sobre la partícula 2 actua la força exterior F2 i la força que fa la partícula 1, F21. Per exemple, si el sistema de partícules fóra el formado per la Terra i la Lluna, les forces exteriors serien les que fa el Sol (i la resta dels planetes) sobre la Terra i sobre la Lluna. Les forces interiors serien l'atracció mútua entre aquestos dos cossos celests. Per a cadascuna de les partícules es compleix que la raó de la variació del moment lineal amb el temps és igual a la resultant de les forces que actuen sobre la partícula considerada, és a dir, el moviment de cada partícula ve determinat per les forces interiors i exteriors que actuen sobre aquesta partícula.
on P és el moment lineal total del sistema i Fext és la resultant de les forces exteriors que actuen sobre el sistema de partícules. El moviment del sistema de partícules ve determinat tan sols per les forces exteriors.
Conservació del moment lineal d'un sistema de partículesConsidereu dues partícules que poden interactuar entre sí però que estan aïllades del voltant. Les partícules es mouen sota la seua interacció mútua però no hi ha forces exteriors al sistema.
Si apliquem la segona llei de Newton a cadascuna de les partícules,
El principi de conservació del moment lineal afirma que el moment lineal total del sistema de partícules roman constant si el sistema és aïllat, és a dir, si no actuen forces exteriors sobre les partícules del sistema. El principi de conservació del moment lineal és independent de la naturalesa de les forces d'interacció entre les partícules del sistema aïllat, m1u1+ m2u2 = m1v1+ m2v2 on u1 i u2 són les velocitats inicials de les partícules 1 i 2 i v1 i v2 les velocitates finals d'aquestes partícules.
Col·lisionsS'empra el terme de col·lisió per a representar la situació en la qual dos o més partícules interaccionen durant un temps molt curt. Se suposa que les forces impulsives degudes a la col·lisió són molt més grans que qualsevol altra força externa present. El moment lineal total es conserva en les col·lisions. Tanmateix, l'energia cinètica no es conserva perquè part de l'energia cinètica es transforma en energia tèrmica i en energia potencial elàstica interna quan els cossos es deformen durant la col·lisió. Es defineix una col·lisió com a inelàstica quan no es conserva l'energia cinàtica. Quan dos objectes que xoquen es queden junts després del xoc es diu que la col·lisió és perfectament inelàstica. Per exemple, un meteorit que xoca amb la Terra. En una col·lisió elàstica l'energia cinètica es conserva. Per exemple, les col·lisions entre boles de billar són aproximadament elàstiques. Al nivell atòmic les col·lisions poden ser perfectament elàstiques.
La magnitud Q és la diferència entre les energies cinètiques després i abans de la col·lisió. Q pren el valor zero en les col·lisions perfectament elàstiques, però pot ser menor que zero si en el xoc es perd energia cinètica com a resultat de la deformació, o pot ser major que zero si l'energia cinètica de les partícules després de la col·lisió és major que la inicial. Per exemple, en l'explosió d'una granada o en la desintegració radiactiva, part de l'energia química o de l'energia nuclear es converteix en energia cinètica dels productes de l'explosió o de la desintegració.
Coeficient de restitucióS'ha trobat experimentalmente que en una col·lisió frontal de dues esferes sòlides, com les que experimenten les boles de billar, les velocitats després del xoc estan relacionades amb les velocitats abans del xoc per l'expressió
on e és el coeficient de restitució i té un valor entre 0 i 1. Aquesta relació la va proposar Newton i té una validesa tan sols aproximada. El valor 1 és per a un xoc perfectament elàstic i el valor 0 per a un xoc perfectament inelàstic. El coeficient de restitució és el quocient entre la velocitat relativa d'allunyament i la velocitat relativa d'apropament de les partícules.
El centre de massaEl Sistema de Referència del centre de massa (sistema-C) és especialment útil per a descriure les col·lisions, en comparació amb el Sistema de Referència del Laboratori (sistema-L), com veurem en properes pàgines. Moviment del centre de masses En la figura tenim dues partícules de massas m1 i m2; com que m1 és major que m2, la posició del centre de masses del sistema de dues partícules estarà prop de la massa major.
En general, la posició rcm del centre de massa d'un sistema de N partícules és
La velocitat vcm del centre de masses s'obté derivant l'expressió anterior respecte del temps
En el numerador figura el moment lineal total i en el denominador la massa total del sistema de partícules. De la dinàmica d'un sistema de partícules tenim que
El centre de masses d'un sistema de partícules es mou com si fóra una partícula de massa igual a la massa total del sistema, sota l'acció de la força externa aplicada al sistema. En un sistema aïllat Fext= 0, el centre de masses es mou amb velocitat constant, vcm= const. El Sistema de Referència del centre de masses Per a un sistema de dues partícules,
La velocitat de la partícula 1 respecte del centre de masses és
La velocitat de la partícula 2 respecte del centre de masses és
En el sistema-C les dues partícules es mouen en direccions oposades. Moment linealPodem comprovar fàcilment que el moment lineal de la partícula 1 respecte del sistema-C és igual i oposat al moment lineal de la partícula 2 respecte del sistema-C, p1cm= m1v1cm Energia cinèticaLa relació entre les energies cinètiques mesurades en el sistema-L i en el sistema-C és fácil d'obtenir
El primer terme és l'energia cinètica relativa al centre de masses. El segon terme és l'energia cinètica d'una partícula la massa de la qual siga igual a la del sistema movent-se amb la velocitat del centre de masses. Aquest últim terme s'anomena energia cinètica de translació del sistema. En un sistema de partícules podem separar el moviment del sistema en dues parts:
En les pàgines següents mostrarem la importància del centre de masses en la descripció del moviment d'un sistema de dues partícules que interactuen a través d'una molla elàstica.
Energia d'un sistema de partículesSuposem que la partícula de massa m1 es desplaça dr1 i que la partícula de massa m2 es desplaça dr2 com a conseqüència de les forces que actuen sobre cadascuna de les partícules.
Si tenim en compte que el treball de la resultant de les forces que actuen sobre una partícula modifica l'energia cinètica de la partícula, és a dir, la diferència entre l'energia cinètica final i la inicial,
Sumem membre a membre i podem escriure el treball com la suma del treball de les forces exteriors més el treball de les forces interiors o d'interacció mútua. Es té en compte que les forces interiors són iguals i de sentit contrari, F12= -F21,
Les forces interiors F12 i F21 fan treball sempre que haja un desplaçament relatiu de la partícula 1 respecte de la 2, ja que dr1 - dr2 = d(r1-r2) = dr12 Normalment, la força F12 és conservativa (és de tipus gravitatori, elèctric, molla elàstica, etc.). El treball d'una força conservativa és igual a la diferència entre l'energia potencial inicial i final,
Si anomenem treball de les forces exteriors a la suma
tindrem
Entre parèntesi tenim una magnitud que és la suma de l'energia cinètica de les dues partícules que formen el sistema i de l'energia potencial que descriu la interacció entre les dues partícules. Aquesta magnitud l'anomenem energia U del sistema de partícules, Wext = Uf - Ui El treball de les forces exteriors és igual a la diferència entre l'energia del sistema de partícules en l'estat final i l'energia del sistema de partícules en l'estat inicial. Per a un sistema de dues partícules hi ha una sola interacció de la partícula 1 amb la 2, descrita per la força interna conservativa F12 o per l'energia potencial Ep12. L'energia U del sistema s'escriu
Sistema aïllat Per a un sistema aïllat, Fext= 0, el treball Wext de les forces exteriors és zero, l'energia U del sistema de partícules es manté constant. Per a un sistema de dues partícules, la interacció mútua de les quals està descrita per l'energia potencial Ep12,
La força exterior Fext és conservativa El treball de la força exterior és igual a la diferencia entre l'energia potencial inicial i la final Wext= Epi- Epf Tenim, per tant, que Ui+ Epi= Uf+ Epf = constant. Per a un sistema de dues partícules sota l'acció de la força conservativa pes, la conservació de l'energia s'escriurà
|
Dinàmica d'un
sistema de partícules
