Dinàmica |
Colisiones Carro que dispara un projectil Caiguda lliure i Bola que rebota sobre un pistó Xocs frontals
Xocs frontals verticals Xoc inelàstic de durada finita Pèndol balístic No es conserva el momento lineal Xoc entre una partícula i un bloc unit a una molla Xocs bidimen- sionals Conservació del moment lineal |
Xoc
elàstic de dues partícules
Xoc elàstic amb una tercera partícula |
|||||||
|
Considerem una partícula de massa m1 que du una velocitat u1 i que xoca elàsticament amb una partícula de massa m2 que està inicialment en repòs. La segona partícula xoca, al seu torn, amb una altra partícula de massa m3 que està inicialment en repòs.
Fixades les masses de la primera i de la tercera partícula, m1 i m3, la tasca és trobar la massa de la segona partícula m2 que fa que la velocitat final v3 de la tercera partícula siga màxima. La segona partícula actua d'agent que transfereix velocitat (energia) de la primera a la tercera partícula. Es tractarà d'investigar quina massa haurà de tenir aquesta partícula per tal que la transferència d'energia siga màxima.
Xoc elàstic de dues partículesEn la pàgina “Xocs frontals” vam estudiar com a cas particular el xoc elàstic entre dues partícules. En aquest cas, la primera partícula du una velocitat u1 i la segona està inicialment en repòs, u2 = 0.
1. Principi de conservació del moment lineal,
2. En un xoc elàstic l'energia cinètica inicial és igual a la final,
Resolem aquest sistema de dues equacions amb dues incògnites i obtenim les velocitats v1 i v2 després del xoc
Per a un sistema de dues partícules, la velocitat màxima que a la qual arriba la segona partícula és 2u1 quan la massa m2 de la segona partícula és molt petita en comparació amb la massa m1de la primera partícula. Ho podem apreciar millor si escrivim v2 en funció de x = m2/m1,
Quan m1= m2 la velocitat de la primera partícula després del xoc és zero, v1= 0, la primera partícula es deté i la segona partícula adquireix la velocitat (i l'energia) de la primera partícula, v2= u1. Però aquesta no és la velocitat màxima que pot adquirir la segona partícula després del xoc.
Xoc elàstic amb una tercera partículaConsiderem ara el cas del xoc entre la segona partícula de massa m2 que du una velocitat u2 i una tercera partícula de massa m3 inicialmente en repòs.
La velocitat inicial u2 de la segona partícula és la velocitat final v2 que adquireix després del primer xoc
1. Principi de conservació del moment lineal,
2. En un xoc elàstic l'energia cinètica inicial és igual a la final,
Resolem aquest sistema de dues equacions amb dues incògnites i obtenim les velocitats v2 i v3 després del xoc,
Màxima transferència de velocitatFixem m1 i m3 i determinem la massa de la segona partícula m2 que fa que v3 siga màxim. Per a tal fi, derivem v3 respecte de m2 i igualem a zero. Després de fer algunes operacions s'arriba al resultat següent:
Es tracta ara de comprovar que és un màxim. Per a tal fi calculem la derivada segona de v3 respecte de m2 i comprovem que és negativa quan es compleix la condició d'extrem,
Donades les masses de les tres partícules, m1, m2 i m3, el valor màximo de la velocitat v3 de la tercera partícula després del xoc val
Si x és el quocient entre la massa de la tercera partícula i la primera x = m3/m1 Quan x tendeix a zero, és a dir, quan la massa m3 de la tercera partícula és molt petita en comparació amb la massa m1de la primera partícula, la velocitat v3 de la tercera partícula tendeix cap a quatre vegades la velocitat inicial de la primera partícula u1. Hem comprovat que una segona partícula interposada entre la primera i la tercera permet incrementar la transferència de velocitat entre les dues, per mitjà de dos xocs elàstics entre la primera i segona partícula, i entre la segona i la tercera partícula.
Balanç energèticL'energia inicial de la primera partícula és
Després del primer xoc entre la primera i la segona partícula, l'energia es reparteix ente la primera F1 i la segona partícula E2, de manera que E1= F1+ E2. Després del segon xoc entre la segona i la tercera partícula, l'energia cinètica E2 de la segona partícula es reparteix entre la segona F2 i la tercera partícula E3, de manera que E2 = F2+ E3. En finalitzar el segon xoc es complirà que E1= F1+ F2 + E3, on E1 és l'energia inicial de la primera partícula i F1, F2, E3 les energies finals de les tres partícules.
Activitats
S'introdueix:
Es pitja el botó Comença. Observem el xoc entre la primera partícula i la segona. Tot seguit, el xoc entre la segona i la tercera. En la part superior de la miniaplicació (applet) apareixen les dades de les velocitats de les partícules abans i després dels xocs. Anotarem en un paper la massa m2 de la partícula intermitja i la velocitat v3 de la tercera partícula després del segon xoc; comprovem que el seu valor ve donat per la fórmula
Repetim diverses vegades l'experiència simulada. Fixem la massa m1 de la primera partícula i canviem la massa m2 de la partícula intermitja fins a aconseguir que la velocitat v3 de la tercera partícula després del segon xoc siga màxima. Comprovarem que es compleix la condició d'extrem,
Exemple 1 Siguen les masses de les partícules m1= 25 kg Completem sobre un paper una taula de valors com la sigüent
La velocitat màxima v3 de
la tercera partícula s'obté per al valor m2 =
5. Com podem verificar a partir de la condició d'extrem, Exemple 2 Siguen les masses de les partícules m1= 10000 kg La massa m2 de la segona partícula és tal que es compleix la condició de màxim de v3. Però com que m1 és molt gran en comparació amb m3 la velocitat v3 és molt propera al valor 4, que és la velocitat més alta a la qual pot arribar la tercera partícula. Exemple 3 En la parte superior de la miniaplicació (applet) apareix una barra horitzontal dividida en dues porcions després del primer xoc o en tres porcions després del segon xoc. Cada porció representa l'energia cinètica de les tres partícules. Siguen les masses de les partícules m1= 25 kg La velocitat inicial de la primera partícula és u1= 1.0, la seua energia cinètica inicial és E1= 12.5 J.
La segona partícula té una velocitat inicial u2= 1.667 m/s, la seua energia cinètica és E2= 6.944 J.
Com podem comprovar, E2= F2+ E3 i també, E1= F1+ F2+ E3. |
Fakhruddin, H. Maximizing imparted speed in elastic collisions. The Physics Teacher, Vol 41, September 2003, 338-339.
Xocs frontals
elàstics
