Dinàmica |
Col·lisions Carro que dispara un projectil Caiguda lliure i rebots successius
Xocs frontals Xocs frontals elàstics Xocs frontals verticals Xoc inelàstic de durada finita Pèndol balístic No es conserva el moment lineal Xoc entre una partícula i un bloc unit a una molla Xocs bidimen- sionals Conservació del moment lineal |
Descripció | |||
|
En aquesta pàgina descriurem el moviment d'una bola que cau i rebota sobre un pistó que descriu un Moviment Hrmónico Simple en direcció vertical, d'amplitud A i de freqüència angular ω. En l'actividad que es proposa es tractarà d'aconseguir que la bola rebote sincronitzadament amb el moviment del pistó. Aqueste exemple il·lustra una propietat important dels acceleradors del tipus sincrotró, anomenada estabilitat en la fase (vegeu l'article citat en les referències).
Descripció
El pistó descriu un MHS d'amplitud A i de freqüència angular ω. En l'instante inicial, t = 0, el pistó parteix de l'origen. La seua posició i velocitat en funció del temps t és yp=A·sin(ωt)
La bola es deixa caure des d'una altura h amb una velocitat inicial nul·la, en l'instant t0. La seua posició i velocitat en l'instant t són yb= h - g(t-t0)2/2
SincronitzacióLa qüestió que es planteja ara és determinar l'altura y0= h i l'instant t0 en els quals es deixa caure la bola per tal que el període P = tn+1-tn de la bola, el temps entre dos xocs consecutius, coincidisca amb el període P = 2π/ω de l'oscil·lació del pistó (en color blau en la figura).
Per a tal fi, els xocs tindran lloc en la mateixa posició ye= yb= yp.
En altres paraules, l'energia que perde la bola en el xoc com a conseqüència de la seua inelasticitat ha de ser igual al guany en energia cinètica després de l'impacte, vb-vp= -e(-vb-vp)
Com que la bola ix i arriba a la misma posició i empra un temps de vol P, la seua velocitat abans i després del xoc valdrà
Per a aarribar a aquesta velocitat la bola ha de partir de l'altura
Com que el pistó parteix de l'origen en l'instant inicial t = 0, i arriba a una velocitat vp= A·ω·cos(ωte) en l'instant te del xoc,
La posició d'encontre és ye= yb= yp= A·sen(ωte)
La bola s'ha d'alliberar amb velocitat inicial zero, des de l'altura
En l'instante t0 que el temps de vol fins que es troba amb el pistó siga P/2, és a dir, te- t0= P/2,
Com que k < 1, l'amplitud A ha de complir la condició següent
ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botó Inici. Se situa la bola en l'altura inicial h i el pistó es comença a moure entre les posicions –A i +A. Quan es pitja el botó Comença la bola es deixa caure en l'instant t0, que s'assenyala en la part superior dreta de la miniaplicació (applet). S'observa el moviment de caiguda de la bola i els rebots successius sobre el pistó. En la part dreta de la miniaplicació (applet) es representa la posició de la bola i del pistó en funció del temps t. Exemple Introduim les dades següents:
Es pitja el botó Inici. Observem el moviment del pistó, la bola roman en la seua posició inicial. Esperem un temps t0 = 0.69 s i pitgem el botó Comença.
Es torna a repetir el procés per a calcular l'instant que es produeix el segon xoc, i així successivament. Sincronització Amb les dades següents per al:
calculem l'altura h i l'instant t0 que s'ha d'amollar la bola. La freqüència angular és ω = 2π/P = 2π rad/s I el paràmetre k val
La bola s'ga d'alliberar amb velocitat inicial zero des de l'altura
en l'instant inicial t0
S'obté el mateix resultat si la bola s'allibera en l'instant t0 que en l'instant t0 més un nombre de períodes P; per exemple, en els instants t0= 1 - 0.31 = 0.69, 1.69 s, etc. Per a observar la sincronització s'introdueix un
Es pitja el botó Inici. Observem que el pistó es posa en moviment i oscil·la entre les posicions +10 i -10 cm. En la part superior dreta de la miniaplicació (applet) es motra el temps, en segons; quan s'arribe a una quantitat pròxima a 0.69 s es pitja el botó Pausa. Es pitja diverses vegades el botó Pas fins que apareixca 0.69 s en el comptador de temps. Es pitja el botó Comença i tot seguit el botó Pausa (Continua) per tal que continue el moviment.
|
Alvarez, Luis W., Senecal G. Mechanical analog of the synchrotron, illustrating phase stability and two-dimensional focusing. Am. J. Phys. 43 (4) April 1972, 293-296.
Bola que rebota
sobre un pistó
