Dinàmica |
Sistemas de partícules Dinàmica d'un sistema de partícules Sistemes aïllats Un bloc llisca
Moviment del c.m. i de les partícules (I) Moviment del c.m. i de les partícules (II) Un modelde saltador |
El
problema dels dos cossos
|
|||||
|
En aquesta pàgina es continúa amb l'estudi dels sistemes aïllats formats per dues partícules.
El problema dels dos cossos
Com veiem, m1a1+m2a2= 0. L'acceleració del centre de massa és zero. El centre de massas d'un sistema aïllat es mou amb velocitat constant, vc= constant. El problema de dos cossos es poden reduir a un problema d'un sol cos; per a tal fi, calculem el valor de l'acceleració relativa, a1- a2
S'anomena massa reduïda del sistema de dues partícules a
Podem escriure l'equació del moviment següent,
El moviment relatiu de dues partícules sotmeses únicament a la seua interacció mútua és equivalent al moviment, respecte d'un observador inercial, d'una partícula de massa igual a la reduïda i sota una força igual a la d'interacció. En el cas que la interacció entre els dos cossos siga descrita per la llei de la Gravitació Universal,
on r és el vector de posició de la partícula 1 respecte de la 2, r = r1- r2. Per a resoldre aquest problema d'un sol cos, necessitem únicament trobar el vector r en funció del temps. La dispersió en el Sistema de Referència del Centre de massa i en el Sistema de Referència del Laboratori serà un dels exemples més importants en l'estudi d'un sistema aïllat format per dues partícules que interaccionen elèctricament.
Sistema format per dues estrelles en òrbita circularSuposem un sistema aïllat format per dues estrelles en òrbita circular al voltant del seu centr de massa. La posició del centr de masses es calcularà d'acord amb la relació següent
La posició del centre de masses està més aprop de la massa major. El moviment de les dues estrelles és equivalent al moviment d'una partícula de massa reduïda m, sota l'acció de la força F que descriu la interacció mútua, la força d'atracció entre dues masses separades una distància r = r1+r2
La magnitud w2·r3 és constant, i ens indica que el quadrat del període, P = 2p/w, és proporcional al cub del radi r (tercera llei de Kepler per a òrbites circulars),
Una vegada determinat el moviment relatiu, és a dir, el radi r que descriu la partícula de massa reduïda m, el moviment de cadascuna de les estrelles és el següent:
Quan la massa d'una de les partícules és molt gran, comparada amb la de l'altra, el centre de massas coincideix aproximadament amb el centre de la primera partícula i podem suposar que la segona es mou al voltant d'un centre fix de forces. Per exemple, un satèl·lit artificial que descriu una òrbita al voltant de la Terra. Exemple Calculeu la massa de la Lluna, conegudes les dades següents:
De la fórmula del període P s'aïlla la massa de la Lluna m2= 3.73·1022 kg. El valor correcte és 7.34·1022 kg. El càlculo es basa en un model simplificat, que no té en compte l'efecte del Sol sobre el període de la Lluna, les pertorbacions d'altres planetes, i la no esfericitat de la Terra. L'òrbita de la Lluna no és circular tot i que el resultat (tercera llei de Kepler) és vàlid també per a òrbitas el·líptiques. Hem mostrat que, en un sistema format per dos cossos que interaccionen d'acord amb la llei de la Gravitació Universal, conegut el període P i la separació r entre els dos (per exemple, un sistema binari d'estrelles) es pot calcular a partir de la tercera llei de Kepler la massa combinada dels dos cossos, m1+m2.
ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botó Comença. La massa de l'estrella blava m1 és fixa; es pot canviar la massa de l'estrella roja. La distància entre les estrelles roman fixa i igual a una unitat de longitud. S'ha establert un sistema d'unitats tal que G·m1= 1. El període es calcula, aleshores, mitjançant la fórmula següent:
Considereu el cas que les dues estrelles tenen la mateixa massa. |
|
Moviment de caiguda sota la força d'atracció mútuaEstudiarem en aquesta secció el moviment de caiguda de dos cossos de masses m1 i m2 sota la força d'atracció mútua. Suposem que inicialment els dos cossos estan en repòs, separats una distància r entre els dos. El centre de massa estarà en repòs a una distància r1 del cos de massa m1 i a una distància r2 del cos de massa m2, com veiem en la figura.
Com que el sistema de dues partícules és aïllat el centre de massas continuarà en repòs en la mateixa posició. Si establim l'origen en el c.m., les equacions del moviment dels dos cossos són
Escrivint r1 o r2 en funció de r,
El moviment dels dos cossos és equivalent al moviment d'una partícula de massa reduïda m, sota l'acció de la força que descriu la interacció mútua, la força d'atracció entre les dues masses separades una distància r = r1+r2. Eliminant el producte m1·m2,
Suposem que la separació inicial entre els dos cossos és r0. Definim les variables adimensionals x = r/r0 on P és el període del moviment circular quan els dos cossos estan separats una distància r0,
L'equació del moviment es transforma en una altra de més simple,
Integrem aquesta equació diferencial amb les condicions inicials τ = 0, x = 1, v = dx/dτ = 0. Emprant la regla de la cadena transformem una equació diferencial de segon ordre en una de primer ordre,
Obtenim la velocitat relativa v d'un cos respecte de l'altre si integrem l'equació diferencial de primer ordre amb la condició inicial x = 1, v = 0,
Quan els cossos cauen, x disminueix amb τ, la velocitat v és negativa. Hem d'integrar l'equació diferencial de primer ordre
amb les condicions inicials τ = 0, x = 1,
La integral del membre de l'esquerra es resol si fem la substitució
A continuació s'integra per parts i queda
Si desfem el canvi, evaluem l'integrand per al límit superior i inferior, aïllem el temps adimensional τ.
Tenim una equació implícita τ =τ(x); donat el valor de x podem calcular el temps τ. Exemple 1
Siga el sistema format per la Terra i el Sol. Suposem que la Terra es deté quan està a una distància d'una unitat astronòmica r0= 1.49·1011 m del centre del Sol. La posició inicial del Sol i de la Terra respecte de l'origen situat en el c.m. és
a l'esquerra del c.m., i r2=1.49·1011-4.5·105=1.49·1011 m a la dreta del c.m. El centre de masses del sistema format per la Terra i el Sol està molt aprop del centre del Sol, que romandrà pràcticament immòbil donada la gran diferència de massa respecte de la Terra. Suposem que la Terra cau cap al Sol; entra en contacte amb el Sol quan la separació entre els centres és r = 6.96·108 + 6.37·106 m. La Terra està en repòs quan la distància del centre del Sol és x = 1, i entra en contacte amb el Sol quan la separació és x = r/r0= 0.0047. Calculem el valor del temps adimensional, τ = 0.177, mitjançant la fórmula (1). Calculem el període P de l'òrbita circular de la Terra al voltant del Sol,
L'instant en el qual entren en contacte el Sol i la Terra és t = τ·P = 5558126 s = 64 dies. Els centres dels dos cossos celestes coincideixen, r = 0, o x = 0, en l'instant
Exemple 2 La distància entre els centres de la Terra i de la Lluna és 3.84·108 m. La posició de la Terra i la Lluna respecte de l'origen situat en el c.m. quan la separació és r =x·3.84·108 m, és
a l'esquerra del c.m., i r2 = 3.84·108 - r1 (m) a la dreta del c.m. El període P de l'òrbita circular de la Lluna i de la Terra al voltant del c.m. comú és
Si es deté la Terra i la Lluna quan la distància és r0= 3.84·108 m o x = 1. Els centres coincideixen, r = 0, o x = 0, en l'instant t: ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botó Comença. Nota: per a introduir en un control d'edició un nombre en notació exponencial, per exemple 1.49·1011, s'escriu 1.49e11. S'observa el moviment dels dos cossos, el moviment de caiguda, fins que els centres dels dos coincideixen, r = 0, o x = 0. En la part superior de la miniaplicació (applet) es proporciona:
|
Per al darrer apartat, "Moviment de caiguda sota la força d'atracció mútua":
Stewart M. Falling and orbiting. The Physics Teacher, Vol. 36, February 1998, pp. 122-125.
El problema de dos
cossos
(1)
