|
Un bloc de massa m està situat a una altura h sobre
l'origen O; cau sobre una plataforma de massa M el suport de la
qual és un molla de constante k. El xoc és inelàstic
i el bloc queda enganxat a la plataforma. Determineu el moviment del sistema
format pel bloc, la plataforma i la molla.
- Posició d'equilibri de la plataforma M sobre la molla de constant
k.
 |
La posició d'equilibri ye és
aquella en la qual el pes de la plataforma s'equilibra amb la força
que fa la molla,
k·ye = Mg |
- El bloc de massa m cau des d'una altura h+ye
abans de xocar amb la plataforma.
 |
La velocitat abans del xoc és
- Conservació del moment lineal
En l'instante del xoc suposarem que el bloc i la plataforma formen
un sistema aïllat. Aplicant el principi de conservació del
moment lineal
mv0 = (m+M)v1
|
- Posició d'equilibri del sistema format per la molla, la plataforma
i el bloc.
 |
La posició d'equilibri x0 és
aquella en la qual el pes de la plataforma i el bloc s'equilibra amb
la força fa la molla,
k·x0 = (M+m)g |
- Sistema oscil·lant.
El període P del Hoviment
Harmònic Simple és
La freqüència angular és w
= 2p /P
L'equació del MHS és
x = -x0+A·sin(w
t+j )
La velocitat del sistema bloc-plataforma s'obté derivant x
respecte del temps,
v = Aw ·cos(w
t+j)
L'amplitud A i la fase inicial j
es determinen a partir de les condicions inicials.
Com podem veure en la figura, el sistema parteix en l'instant t
= 0 de la posició -ye amb la velocitat v0
que té el sistema bloc-plataforma després del xoc.
Tenim un sistema de dues equacions amb dues incògnites:
-ye = -x0+A·sinj
-v0= Aw ·cosj
A partir d'elles obtenim l'amplitud A i la fase inicial j
.
Exemple
Siga un sistema format per
- Un bloc de massa m = 10 kg
- Una plataforma de massa M = 20 kg
- Un molla de constant elàstica k = 2000 N/m
El bloc es deixa caure des d'una altura d'1 m sobre el nivell de la molla
sense deformar, que prenem com a origen.
- Posició d'equilibri de la plataforma M sobre la molla de constant
k
20·9.8 = 2000·ye. Per tant, ye=
9.8 cm.
- Velocitat abans del xoc del bloc
El bloc cau des d'una altura de 1.098 m; la seua velocitat és
v1= 4.64 m/s
- Xoc del bloc contra la plataforma
10·4.64 = (10+20)·v0. Per tant,v0=
1.546 m/s = 154.6 cm/s.
- Posició d'equilibri del sistema format pel bloc, la plataforma i la
molla
(20+10)·9.8 = 2000·x0. Per tant, x0=
14.7 cm.
- Moviment Harmònic Simple
Període de l'oscil·lació
Freqüència angular w
= 8.16 rad/s.
Equació del MHS
x = -14.7+A·sin(w
t+j ) cm
v = Aw ·cos(w
t+j
) cm/s
Condicions inicials, en l'instant t = 0
-9.8 = -14.7+A·sinj
-154.6 = Aw · cosj
j = 165.5º = 2.89 rad
A = 19.56 cm
L'equació del MHS és
x = -14.7+19.56·sin(8.16t+2.89) cm
El bloc i la plataforma oscil·len entre les posicions –14.56
- 19.56 = -34.26 cm per baix de l'origen i –14.7+19.56 = 4.86 cm
per dalt de l'origen.
Balanç energètic
- Abans del xoc
- El bloc de massa m està en repòs a una altura
h =1 m
Ep=mgh
- La plataforma ha descendit ye
Ep= -Mg·ye
- La molla està comprimida ye
- En el moment del xoc
L'energia potencial del bloc de massa m s'ha transformat en
energia cinètica
- El xoc és inelàstic, una parte de l'energia es perd
on v0 és la velocitat del conjunt bloc-plataforma
després del xoc.
- Després del xoc l'energia del sistema és:
- Energia potencial del conjunt bloc–plataforma: es troben a
ye per sota de l'origen
Ep= -(M+m)g·ye
- Energia potencial elàstica de la molla
En l'exemple estudiat anteriorment
m = 10 kg, M = 20 kg, k = 2000 N/m. La velocitat
després del xoc és v0= 1.546 m/s
i la posició en la qual va ocòrrer el xoc era ye=
0.098 m. L'energia total
Les posicions x per a les quals v = 0 s'obtenen de l'equació
Aquesta equació de segon grau ens dóna dues posicions x
= 0.3425 m i x = -0.048 m.
La posició més baixa està 34.25 cm per sota de l'origen
i la més alta 4.8 cm per damunt de l'origen (valors que vam obtenir
en l'apartat anterior).
- La suma d'aquestes tres classes d'energies es va a mantenir constant
mentre el sistema està oscil·ant, ja que el conjunt bloc-plataforma-molla
està sota l'acció de dues forces conservatives, el pes i la força
que fa la molla deformada.
S'introdueix:
- La massa de la plataforma, en kg, en el control d'edició massa
plataforma
- La massa del bloc, en kg, en el control d'edició massa del bloc
- La constante elàstica de la molla que soporta la plataforma,
en N/m, en el control d'edició Constante elástica
- El bloc es deixa caure des de la posició y = 1 m = 100 cm.
Es pitja el botó Inici. El programa verifica les dades introduïdes
i si són correctes es pitja, tot seguit, el botó Comença.
Cada vegada que es fa un "experiència" nova es canvien
les dades i es pitja el botó Inici.
Suggerim que empreu els botons Pas i Pausa per a detenir
el programa en qualsevol moment i per a executar el programa pas a pas.
Primer observarem la caiguda del bloc, el seu xoc contra la plataforma
i, finalment, el moviment oscil·latori del conjunt bloc-plataforma
i molla.
A la dreta de la miniaplicació (applet) es representa
la posició, en funció del temps, del bloc i de la plataforma quan comencen
a oscil·lar. Podem mesurar l'amplitud i el període i apreciar
la fase inicial.
En la part superior de la miniaplicació (applet) es representa
l'energia del sistema; el nivell zero d'energia potencial s'ha situat
en la base de la molla elàstica, 50 cm per sota de l'origen. D'aquesta
manera les energies potencials són sempre positives i es poden
apreciar visualment les transformacions entre els diversos tipus d'energia,
així com la pèrdua d'energia en el moment del xoc.
- L'energia del bloc i de la plataforma es representa en forma d'una
barra de dos colors, la part roja representa l'energia potencial i la
parte blava l'energia cinètica. La longitud de la barra representa
l'energia total de la partícula.
- La barra de color verd representa l'energia potencial elàstica
de la molla.
|
Xoc entre una
partícula i un bloc
unit a una molla