Dinàmica |
Col·lisions Carro que dispara un projectil
Bola que rebota sobre un pistó Xos frontals Xocs frontals elàstics Xocs frontals verticals Xoc inelàstic de durada finita Pèndol balístic No es conserva el momento lineal Xoc entre una partícula i un bloc unit a una molla Xocs bidimen- sionals Conservació del momento lineal
|
||||
|
En aquesta pàgina es presenta un exemple interessant que permet a l'estudiant obtenir expressions per a un cas general una vegada examinades les dues o tres primeres situacions. Es tracta d'un exercici de progressions geomètriques, un tema habitual en els cursos de matemàtiques al nivell elemental.
DescripcióRebot en terra
Altures dels rebots successiusSuposem que es deixa caure una pilota des d'una altura inicial h. Calculem les altures dels rebots successius.
1) Primer rebot La velocitat de la pilota abans de xocar amb terra es calcula aplicant el principi de conservació de l'energia
La velocitat de la pilota després del xoc és (en mòdul) v1= e·u1 La pilota puja amb una velocitat inicial v1 i arriba una altura màxima h1 que es calcula aplicant el principi de conservació de l'energia,
2) Segon rebot La velocitat de la pilota abanss de xocar amb terra es calcula aplicant el principi de conservació de l'energia,
La velocitat de la pilota després del xoc és v2= e·u2 La pilota puja amb una velocitat inicial v2 i arriba a una altura màxima h2 que es calcula aplicant el principio de conservació de l'energia,
3) Rebot n Després del xoc n l'altura màxima a la qual arriba la pilota és hn= e2n·h
Perdua d'energia que experimenta la pilota
La suma ΔE1+ ΔE2+ ΔE3+…+ΔEn és l'energia perduda per la pilota després de n xocs. Després d'infinits xocs la pilota haurà perdut tota la seua energia inicial mgh. Comprovem-ho sumant els infinits termes d'una progressió geomètrica de raó e2, el primer terme de la qual és ΔE1,
Temps que tarda la pilota en aturar-se
El temps total després d'infinits rebots és la suma de t0 i els termes d'una progressió geomètrica el primer terme de la qual és 2t0e i la raó de la qual és e,
Si proporcionem a la pilota una velocitat inicial horitzontal vx, després d'infinits rebots es desplaçarà una distància horitzontal x= vx·t∞. Mesura del quoficient de restitució e i de l'acceleració de la gravetat g El temps tn que passa la pilota en l'aire ente dos xocs successius amb el terra és
Si prenem logarismes ln tn= n·lne + ln(2t0)
Mesurant l'ordenada en l'origen obtenim 2t0
Coneguda l'altura h a la qual s'ha deixat caure inicialment la pilota aïllem l'acceleració de la gravetat, g.
ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botó Comença. Exemple Introduïm e = 0.90 com a coeficient de restitució. Determinem:
En la part esquerra de la miniaplicació (applet) es mostra l'energia de la pilota mitjançant un diagrama de barres. L'energia es conserva entre dos xocs consecutius amb el terra i es trasforma l'energia cinètica (en color blau) en potencial (en color roig) quan la pilota puja, i es transforma en sentit contrari quan la pilota baixa. L'energia de la pilota està marcada per línies de color negre; d'aquesta manera podem comparar l'energia que es perd en els xocs successius amb el terra.
|
|
Progressió geomètricaUna progressió geomètrica es defineix com aquella successió en la qual el terme n és el producte del terme n-1 per un nombre r anomenat raó de la progressió, a0= a Suma de n termes d'una progressió geomètricaSn= a0+ a0·r
+ a0·r2 + …+ a0·rn Multipliquem la primera igualtat per r i restem membre a membre la primera de la segona, Sn+1- r·Sn = a0 Si tenim en compte que Sn+1= Sn+ a0·rn+1podem aïllar la suma Sn de n termes de la progressió geomètrica,
Si r és menor que la unitat la suma dels infinits termes d'una progressió geomètrica es redueix a
|
Caiguda lliure 
