Dinàmica

Col·lisions

Carro que dispara
un projectil

Caiguda lliure i
successius rebots

Bola que rebota 
sobre un pistó

Xocs frontals

Xocs frontals
elàstics

Xocs frontals
 verticals

Xoc inelàstic
de durada finita

Pèndol balístic

No es conserva el
moment lineal

Xoc entre una 
partícula i un bloc
unit a una molla

Xocs bidimen-
sionals

Conservació del
moment lineal

Activitats

Referències

En aquesta pàgina es descriu un exemple interessant de xocs frontals.

Hem comprovat en la pàgina “Caiguda lliure i successius rebots” que quan una pilota es deixa caure des d'una altura h0 rebota en el terra i arriba a una altura màxima h < h0. La relació entre aquestes altures és h = e2·h0 on e és el coeficient de restitució e ≤ 1. Comprovem que quan una pilota petita es col·locaigudamunt d'una altra pilota major i es deixen caure juntes des d'una altura h0 la pilota petita pot arribar a altures molt mayors que h0.

Descripció

Suposarem que les dues pilotes es comporten com a masses puntuals, és a dir, que les seues dimensions són petites en comparació amb l'altura h₀ des de la qual es deixen caure.

Descriurem en aquest apartat cadascuna de les etapes del moviment de les dues pilotes:

1. Moviment vertical de caiguda

Si les dues pilotes parteixen del repós des d'una altura h₀ les equacions del moviment són

v = -g·t
y = h₀ - ½ gt²

Les pilotes arriben al terra quan y =0, és a dir, amb una velocitat –v₀ tal que

2. Xoc de la pilota gran amb el terra
    

La pilota gran xoca amb el terra i rebota. De la definició de coeficient de restitució tindrem que la velocitat u1 de la pilota gran després del xoc és u1= e1v0 on e1 és el coeficient de restitució per al xoc entre la pilota gran i el terra.

3. Xoc de la pilota gran amb la petita
    

Hem de plantejar les equacions que descriuen el xoc frontal entre dues partícules, una partícula (la pilota gran) de massa m1 que du una velocitat u1 cap a dalt i una altra partícula (la pilota petita) de massa m2 que du una velocitat u2= -v0 cap a baix, com es mostra en la figura.

Per a calcular les velocitats v₁ i v₂ després del xoc apliquem:

• el principi de conservació del moment lineal

m₁·u₁+ m₂(-v₀) = m₁·v₁+ m₂·v₂

• i la definició de coeficient de restitució

v₁-v₂= -e₂(u₁-(-v₀))

on e₂ és el coeficient de restitució per al xoc entre la pilota gran i la petita.

Per a fer més simple l'anàlisi del problema suposarem que els coeficients de restitució són pràcticament iguals, e₁ ≈ e₂ = e.

m₁ev₀ - m₂v₀= m₁·v₁+ m₂·v₂
v₁-v₂= -e(ev₀+ v₀)

Aïllem d'aquest sistema de dues equacions les velocitats v₁ i v₂ després del xoc

4. Moviment vertical ascendent

La pilota més gran ascendeix des del terra amb velocitat inicial v₁ i la pilota petita amb velocitat inicial v₂; les equacions del moviment per a la primera són

v = v₁ - g·t
y = v₁·t - ½·gt²

S'arriba a l'altura màxima quan v = 0,

S'obté la mateixa expressió per a la pilota petita.

Casos particulars

1. Condició per tal que la pilota gran romanga en repós, v₁ = 0

En el cas de un xoc elàstic e = 1, la velocitat v₁= 0 s'obté per a m₁= 3m₂. La pilota gran roman en repós sobre el terra quan la massa de la pilota gran és el triple que la de la petita. La velocitat de la pilota petita és v₂= 2v₀. L'altura màxima a la qual arriba la pilota petita és, per tant, h₂ = 4h₀.

En general, per tal que la pilota petita ascendisca fins a una altura h₂ > h₀ s'haurà de que complir que v₂ > v₀, i ascendirà a la major altura possible si v₁= 0, quan la pilota gran quede en repòs sobre el terra.

Si posem v₁= 0 en la segona equació (definició de coeficient de restitució) que descriu el xoc frontal, per tal que v₂ > v₀ s'ha de complir que e²+ e - 1 > 0, és a dir, e > 0.618.

Per tal que la pilota gran romanga en repòs en terra, v₁= 0, la relació de masses m₁/m₂ per a qualsevol valor de e > 0.618, s'haurà de complir

Per a un valor típic e = 0.9, m₁ = 3.011·m₂, la massa de la pilota gran m₁ és un poc més de tres vegades la massa de la pilota petita. La velocitat de la pilota petita és v₂ = 1.71v₀ i, per tant, h₂ = 2.92·h₀.

2. Quan la massa de la pilota petita és negligible

Quan la massa de la pilota petita és negligible, m₂<< m₁, per a les col·lisions elàstiques e = 1 s'obté v₂ ≈ 3·v₀, de manera que l'altura a la qual arriba la pilota petita és h₂ ≈ 9·h₀.

Balanç energètic

• L'energia inicial de les partícules quan estan a una altura h₀ sobre el terra és

E_i = (m₁+ m₂)·gh₀

• La pilota més gran rebota contra el terra i perd una energia Q₁ en el xoc. La velocitat inicial és v₀ i la velocitat final e·v₀.

• La pilota més petita arriba al terra amb una velocitat v₀ i xoca amb la pilota gran que ha rebotat i du una velocitat ev₀. Durant el xoc es perd una energia

• La resta de l'energia E_f = E_i+ Q₁+ Q₂ es converteix en energia cinètica de les dues partícules que ascendeixen amb velocitats v₁ i v₂, respectivament.
   

• Posteriorment, aquesta energia cinètica es converteix en potencial quan arriben a les altures màximes h₁ i h₂, respectivament.

Si la pilota mayor queda en repòs sobre el terra, v₁= 0, l'energia final E_f es converteix en energia potencial de la pilota més petita quan arriba a l'altura màxima h₂.

Exemple

Suposem que e = 0.9, m₁= 3.011·m₂ i que l'altura inicial és h₀= 0.25 m.

1. Energia inicial E_i = 4.011·9.8·0.25 = 9.83 J
2. Velocitat de la pilota més gran en arribar al terra, v₀= 2.21 m/s.
3. Després de xocar amb el terra la seua velocitat és e·v₀ = 1.99 m/s. La pèrdua d'energia durant el xoc és Q₁ = -1.40 J.
4. La pilota més petita arriba al terra amb velocitat v₀ = 2.21 m/s i xoca amb la pilota gran després de rebotar. La pèrdua d'energia en el xoc és Q₂ = -1.26 J.
5. La pilota gran roman en repòs sobre el terra. L'energia de la pilota petita és E_f = 9.83 - 1.40 - 1.26 = 7.16 J. L'energia cinètica de la pilota petita al nivell del terra es converteix en energia potencial quan arriba a l'altura h₂ = 0.73 m.

Activitats

S'introdueix:

• La massa m₁ de la pilota gran, un nombre major que la unitat, en el control d'edició Massa gran.
• La massa de la pilota petita m₂ s'ha fixat en 1 kg.
• El coeficient de restitució e, un nombre menor que 1.0 i mayor que 0.6, en el control d'edició Coef. restitució.
• L'altura inicial h₀, en cm, actuant en la barra de desplaçament Altura.

Es pitja el botó Comença.

Per exemple,

• massa gran, m₂ = 200
• coeficient de restitució, e = 1.0
• altura inicial, h₀ = 10 cm

Observeu que la pilota petita (de color blau) arriba a una altura màxima h₂ propera als 90 cm.

Introduïu un valor per al coeficient de restitució e, canvieu el valor de la massa m₁ de la pilota gran fins a aconseguir que després de xocar amb la pilota petita romanga en repòs sobre el terra.

• A l'esquerre de la miniaplicació (applet) observem el moviment vertical de la pilota gran (color roig) i de la pilota petita (color blau).

• En el centre, les barres indiquen l'energia (cinètica més potencial) de cada partícula i com es va trasformant.

• A la dreta es representa gràficament la velocitat de la pilota petita en funció del temps.