Dinàmica |
Sistemes de massa variable Model discret de coet Coet d'empenta constant Coet de dues etapes Moviment vertical d'un coet Descens del mòdul lunar Coet "perfecte" Flux de sorra Dipòsit de sorra El rellotge de sorra La força que fa la pressió atmosfèrica La pluja cau en un vagó de tren
El coet de Torricelli Moviment d'una cadena |
Equació del moviment | |
|
El moviment d'una corda que llisca sense fregament sobre una taula i hi cau per la vora és un exemple típic de moviment d'un sistema de massa variable.
Equació del movimentSiga una corda uniforme de longitud l, de densitat lineal ρ, que llisca sense fregament sobre una taula horitzontal i que cau per una de les vores, tal com es mostra en la figura.
Suposem que en l'instant t la longitud del segment vertical de la corda que penja de la vora de la taula és x. La força que actua sobre tota la corda és el pes de la part vertical. El pes de la part horitzontal l-x s'equilibra amb la reacció de la taula. La segona llei de Newton s'escriu
L'equació del moviment de la corda homogènia és independent del valor de la densitat ρ. La solució d'aquesta equació diferencial és
Els coeficients A i B es determinen a partir de les condicions inicials. Suposem que en l'instant inicial t = 0, x = x0, v = 0, és a dir, penja de la vora de la taula una porció x0 de la corda i s'amolla. Aleshores,
Balanç energètic
Situem el nivell zero d'energia potencial en la vora de la taula. L'energia inicial és l'energia potencial del centre de masses (c.m.) de la part de la corda que penja de la vora de la taula, la massa de la qual és ρx0,
L'energia de la corda en l'instant t és la suma de:
Apliquem el principi de conservació de l'energia
Si introduïm les expressions de x i de v en funció del temps i tenim en compte que sinh2z-cosh2z = -1, comprovem que es compleix el principi de conservació de l'energia. Si derivem l'equació de l'energia respecte del temps tornem a obtenir l'equació del moviment, ExempleSiga x0 = 0.1 i l = 1.0
Forces sobre la corda en la vora de la taulaL'equació del moviment s'ha deduït suposant que la corda manté en tot moment la forma d'"L invertida”. Però, com és possible mantenir un angle de 90º entre les dues parts de la corda des del mateix moment que s'hi posa en moviment? La suposició que la corda es dobla bruscament 90º en la vora de taula, s'anul·la instantàniament el moment lineal horitzontal i en continua el moviment cap a baix, no és realista. El problema és, per tant, molt més complex, com es descriu en el segon article citat en les referències. La segona llei de Newton per a aquest sistema bidimensional,
Momento lineal p:
Forces exteriors F
La segona llei de Newton al llarg de l'eix X i de l'eix Y, respectivament, s'escriu
En l'equació del moviment aïllem l'acceleració d2x/dt2 i en l'equació de la conservació de l'energia aïllem la velocitat dx/dt,
Expressem Fx i Fy en funció de x,
Per a una x determinada es compleix que Fx= 0
ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botó Comença. S'observa el moviment de la corda. Es proporcionen les dades de x (longitud de la part de la corda que penja de la vora de la taula) i la velocitat de la corda v en cada instant t. Es dibuixen mitjançant fletxes les forces exteriors que actuen sobre el sistema (amb l'excepció del pes de la part de la corda que està sobre la taula i la reacció d'aquesta, que s'anul·len). Es proporciona el valor de la força Fx = Fy que s'ha de fer sobre la corda en la vora de la taula per tal que mantinga en tot moment la forma d'“L invertida”. En la part esquerre de la miniaplicació (applet) un diagrama de barras ens mostra els canvis energètics.
|
Prato D., Gleiser R. Another look at the uniform rope sliding over the edge of a smoooth table. Am. J. Phys. 50 (6) June 1982, 536-539.
Vrbik J. Chain sliding off a table. Am. J. Physics 61 (3) March 1993, 258-261.
Una corda llisca
sobre una taula
