Dinàmica |
Sistemes de massa variable Model discret de coet Coet d'empenta constant Coet de dues etapes Moviment vertical d'un coet Descens del mòdul lunar Coet "perfecte" Flux de sorra Dipòsit de sorra que es mou El rellotge de sorra La força que fa la pressió atmosfèrica La pluja cau en un vagó de tren Una corda llisca
Moviment d'una cadena |
Buidatge del dipòsit | |
|
En un coet d'empenta constant la velocitat d'eixida dels gasos és constant des del punt de vista de l'observador situat en el coet. En aquesta pàgina estudiarem una situació en la que la velocitat d'eixida no és constant i, per tant, l'empenta és variable.
Buidatge del dipòsitEn el capítol Fluids s'estudia el buidatge d'un dipòsit de secció S1 = πR2 que s'ha emplenat d'aigua fins a una altura H. Si s'obri un orifici d'àrea S2 = πr2 en el fons, la velocitat u d'eixida de l'aigua quan la seua superfície lliure està a una altura h sobre el fons, d'acord amb el teorema de Torricelli és
Una anàlisi més detallada que tinga en compte les dimensions del dipòsit (de secció S1) i de l'orifici (de secció S2) condueix a l'expressió
Podem considerar g’ com una acceleració de la gravetat efectiva, que coincideix amb g si el radi de l'orifici r és molt menor que el radi R del dipòsit. A mesura que l'aigua, de densitat ρ, ix per l'orifici, l'altura h o la massa m = ρπR2h d'aigua en el dipòsit va disminuint amb el temps. Com que la despesa (o volum del fluid que ix per l'orifici en la unitat de temps) és πr2u, la massa m d'aigua disminueix d'acord amb l'equació
Integrem aquesta equació diferencial entre l'instant t = 0 en el qual la massa d'aigua és m0 = ρπR2H i l'instant t en el qual la massa d'aigua és m,
Finalment, ens queda
El dipòsit es buida completament en l'instant tmàx en el qual l'altura h o la massa m d'aigua és zero,
Moviment del dipòsitLa definició de força és
El sistema format pel dipòsit i l'aigua és aïilat i, per tant, la força F = 0. En estudiar el moviment d'un coet d'empenta constant vam deduir l'equació del moviment
on u era la velocitat d'eixida dels gasos respecte de coet i m la massa total del coet (receptacle buit i combustible). En aquest cas separem la massa total en dues parts: la massa m d'aigua que va disminuint, i la massa constant M del dipòsit buit i de la plataforma sobre la qual descansa el dipòsit,
En funció del temps t, l'equació del moviment s'escriu
Integrem aquesta equació entre l'instant t
= 0, en el qual la velocitat del dipòsit és v = 0,
i l'instant t, en el qual la velocitat és v.
i hem d'integrar
Desfem el canvi i obtenim l'expressió de la velocitat v en funció del temps t,
Integrem respecte del temps i obtenim la posició x de la plataforma en funció del temps t. Per a fer-ho, necessitem la integral de l'arc tangent,
S'ha esgotat l'aigua emmagatzemada en el dipòsit en l'instante tmàx que
La velocitat màxima és
i es produeix quan el dipòsit es troba en la posició x,
La velocitat final no depén del radi r de l'orifici d'eixida de l'aigua, és a dir, de la quantitat d'aigua empentada la unitat de temps. El mateix ocorre en un coet: la velocitat final no depén de la quantitat de combustible D que es crema per segon, sinó de la massa inicial, de la massa final i de la velocitat constant u d'eixida dels gasos respecte del coet. A partir de l'instant tmàx el conjunt format per la plataforma i el dipòsit buit es mouen amb velocitat constant. Exemple
La massa inicial d'aigua en el dipòsit és m0 = ρπR2H = 1000·π·0.12·0.45 = 14.14 kg Calculem l'acceleració de la gravetat efectiva g'
La velocitat inicial d'eixida de l'aigua mesurada per un observador situat en la plataforma és
El temps que tarda en eixir l'aigua del dipòsit és
La velocitat màxima que adquireix la plataforma és
La plataforma està en la posició
ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botó Nou.
Una vegada es defineix l'estat inicial es pitja el botó Comença. Observem l'eixida de l'aigua per la part inferior dreta del dipòsit. Una fletxa de color blau ens indica la magnitud de la velocitat d'eixida de l'aigua mesurada per un observador situat en la plataforma. Una fletxa de color roig ens indica la velocitat de la plataforma. La diferència entre els dos vectors és igual a la velocitat d'eixida de l'aigua mesurada per un observador situat en el terra. La velocitat d'eixida de l'aigua mesurada per l'observador situado en el terra és negativa primer, quan el dipòsit es comença a buidar, i després és positiva, quan el dipòsit està quasi buit. En un instante determinat la velocitat d'eixida de l'aigua coincideix amb la velocitat de la plataforma i, per tant, la velocitat d'eixida de l'aigua respecte de l'observador situat en el terra és zero. En la parte superior dreta de la miniaplicació (applet) el programa interactiu proporciona les dades del temps (en s), la posició del dipòsit (el seu costat dret, on està l'orifici), i la velocitat de la plataforma. Quan l'aigua ha eixit del dipòsit la plataforma es mou amb velocitat constant. Nota: El lector s'haurà adonat que el dipòsit està dibuixat a una escala mentre que el camí horitzontal que recorre està dibuixat a una escala diferent. Això no afecta la simulació, però permet veure amb claredat el procés físic. |
Arrossegueu amb el punter del ratolí la fletxa de color roig
Lapidus, R. Problem: Torricelli's rocket. Am. J. Phys. 54 (3) March 1986, (enunciat en la pàg. 238; solució en la pág. 277).
El coet de
Torricelli
