Dinàmica

Moviment en el 
si d'un fluid

Fórmula de Stokes

Mesura de la viscositat
d'un fluid (I)

Mesura de la viscositat
d'un fluid (II)

Descens d'un
  paracaigudista

Moviment vertical
d'una esfera en un fluid

Tir parabòlic amb fregament

Descens d'un paracaigudista en una atmosfera no uniforme

Referències

En les dues pàgines anteriors hem estudiat el moviment d'un cos en el si d'un fluid en règim laminar (la força de fregament era proporcional a la velocitat). Ara estudiarem el moviment d'un cos en el si d'un fluid en règim turbulent (la força de fregament és proporcional al quadrat de la velocitat).

Descens del paracaigudista en una atmosfera uniforme

Quan un paracaigudista es llança des de l'avió suposarem que la seua caiguda és lliure, el pes és l'única força que n'actua, l'acceleració és constant i les equacions del moviment són les estudiades en la pàgina caiguda dels cossos.

Quan obri el paracaigudes, a més del pes actua una força de fregament proporcional al quadrat de la velocitat.

Caiguda lliure abans de l'obertura del paracaigudes

El paracaigudista està sotmés a l'acció del seu propi pes. L'empenta de l'aire es considera negligible ja que la densitat de l'aire és molt menor que la del cos. Per altra banda, considerem que el fregament del paracaigudista amb l'aire és petit.

Les equacions del moviment seran (es pren com a origen el lloc de llançament i l'eix X apuntant cap a dalt). a = -g             v = -gt               x = x0 - gt2/2

Quan s'ha obert el paracaigudes

El paracaigudista està sotmés a l'acció del seu pes i d'una força de fregament proporcional al quadrat de la velocitat, ma = -mg + kv2

La constant de proporcionalitat és  k = ρAδ/2

• r és la densitat de l'aire. Tot i que la densitat de l'aire varia amb l'altura, en aquest càlcul aproximat s'utilitzará el valor al nivell del mar, 1.29 kg/m³.
• A és l'àrea de la secció transversal frontal exposada a l'aire.
• d és un coeficient que depèn de la forma de l'objecte.

En la taula següent es proporcionen els coeficients d'arrossegament per a diversos objectes.

Com que el paracaigudista és menys aerodinàmic que una esfera, però més aerodinàmic que un disc posat de front, prenem per al coeficient de forma el valor mitjà dels valors donats per a aquestes dues formes en la taula, és a dir, d = 0.8.

Quan el paracaigudista en caiguda lliure obri el paracaigudes redueix bruscament la seua velocitat fins que arriba a una velocitat límit constant v_l, que s'obté quan el pes és igual a la força de fregament, és a dir, quan l'acceleració és zero,

-mg + kv²= 0

El valor de la velocitat límit és independent de la velocitat inicial del paracaigudista en el moment d'obrir el paracaigudes, com podem veure en les figures.

Equació del moviment

L'equació del moviment quan s'ha obert el paracaigudes la podem escriure de la forma

Integrem l'equació del moviment per a obtenir la velocitat v del mòbil en qualsevol instant t. Les condicions inicials són: v₀ és la velocitat del paracaigudista en l'instant t₀ que obri el paracaigudes,

Per a integrar es fa el canvi v = z·v_l.

Es desfa el canvi i s'aïlla v en funció del temps (t - t₀). Després d'algunes operacions s'arriba a l'expressió

Podem obtenir també l'expressió de la posició del mòbil en funció de la velocitat si fem un canvi de variable,

L'equació del moviment es transforma en

Que es pot integrar de forma immediata

L'altura x del paracaigudista en funció de la seua velocitat v és

Aïllem la velocitat v en funció de la posició x del paracaigudista,

Activitats

S'introdueix:

• La massa m del paracaigudista, en el control d'edició Pes del paracaigudista.
• L'àrea del paracaigudes, en el control d'edició Àrea del paracaigudes.

Es pitja el botó Comença.

Es pitja el botó Obri paracaigudes per tal que el paracaigudista frene la seua caiguda lliure en obrir el paracaigudes.

El cercle roig representa el paracaigudista en caiguda lliure; el mateix cercle rodejat d'un contorn de color blau indica que s'ha obert el paracaigudes. Es representen les forces sobre el mòbil:

• En color roig, la força constant del pes.
• En color blau, la força de fregament, proporcional al quadrat de la velocitat.

Quan les dues fletxes són iguals la velocitat del paracaigudista és constant i igual a la velocitat límit. Observeu que la velocitat límit és independent de l'altura a la qual s'obri el paracaigudes.

Per a determinar la dependència del valor final de la velocitat amb el pes del paracaigudista i l'àrea del paracaigudes:

• Es manté constant el pes del paracaigudista i s'incrementa l'àrea del paracaigudes.
  
• Es manté constant l'àrea del paracaigudes i s'incrementa el pes del paracaigudista.

Exemple

• Massa del paracaigudista, m = 72 kg.
• Àrea del paracaigudes, A = 0.6 m².
• El paracaigudista parteix del repòs des de la posició x = 2000 m.
• Obri el paracaigudes en la posició x = 1000 m, sobre el terra.

Calculeu la velocitat amb la qual arriba al terra.

Les dades per a calcular la velocitat límit v_l són:

• Densitat de l'aire, r = 1.29 kg/m³
• Coeficient de forma, d = 0.8

Aplicant les equacions de caiguda dels cossos calculem la velocitat quan el paracaigudista arriba a la posició x = 1000 m,

1000 = 2000 - 9.8·t²/2
v = -9.8·t

v = -140 m/s

Aquesta és la velocitat inicial per a l'etapa següent del moviment, v₀= -140 m/s en la posició x₀= 1000 m.

La velocitat del paracaigudista en la posició x = 0, quan arriba al terra, és

v = -47.7 m/s.

Descens d'un paracaigudista en una atmosfera no uniforme

En fer les activitats anteriors haurem comprovat que quan un paracaigudista obri el paracaigudes en la posició de partida la seua velocitat va creixent amb el temps fins que arriba a la velocitat límit constant.

Comprovem que en una atmosfera no uniforme el comportament es més complex. La velocitat del paracaigudista va creixent fins a arribar a una velocitat màxima i després decreix fins que arriba al terra.

Variació de la pressió amb l'altura

En una atmosfera isotèrmica la variació de la pressió en funció de l'altitud x està donada per la llei de Laplace,

• P₀ es la pressió de l'atmosfera al nivell del mar.

• M és el pes molecular de l'aire, 28.8 g/mol = 0.0288 kg/mol.

• g és l'acceleració de la gravetat.

• k = 1.3805·10^-23 J/K és la constant de Boltzmann.

• T és la temperatura de l'atmosfera, en Kelvin.

• N_A = 6.0225·10²³ es el nombre d'Avogadro, nombre de molècules que caben en un mol.

Tot i que l'atmosfera no és isotèrmica, la variació de pressió amb l'altura es pot aproximar a una exponencial decreixent, per a una temperatura efectiva de 254 K,

on P₀ = 1 atm és la pressió al nivell del mar. La pressió a una altura de x = 10000 m és de tan sols 0.26 atm.

Equación del moviment

L'equació del moviment és

Podem escriure aquesta equació de forma alternativa

on k₀ és el valor de la constant de proporcionalitat de la força de fregament al nivell del mar, on la pressió és P₀, i la constant λ = 7482.2.m^-1.

Aquesta equació admet una solució en termes d'una sèrie infinita (vegeu l'artecle citat en les referències). El programa interactiu la resol per procediments numèrics.

Màxima velocitat a la qual arriba el paracaigudista

Observem que el paracaigudista va incrementant la seua velocitat a mesura que cau, arriba a un màxim i després la velocitat disminueix fins que arriba al terra.

Quan s'arriba a la velocitat màxima, dv/dx = 0, la relació entre la velocitat màxima v_m i l'altura x_m a la qual es produeix és

on v_l  és la velocitat límit a la qual arribaria un paracaigudista en una atmosfera uniforme,

Es pot calcular x_m per procediments numèrics si disposem de la solució analítica v = v(x), que per la seua complexitat omitim en aquesta pàgina.

Activitats

S'introdueix:

• La massa m del paracaigudista, en el control d'edició Pes del paracaidista.
• L'àrea del paracaigudes, en el control d'edició Àrea del paracaigudes.
• L'altura (en km) des de la qual es llança el paracaigudista, actuant sobre la barra de desplaçament Altura.

Es pitja el botó Comença.

El paracaigudista obri el paracaigudes des de la posició de partida.

En la part esquerre de la miniaplicació (applet) es representa la pressió de l'aire en funció de l'altura, d'acord amb el model d'atmosfera isoterma.

Tot seguit observem el moviment del paracaigudista sobre un fons de color que representa la pressió en funció de l'altura en una escala d'intensitats de color roig. Al color blanc li correspon la pressió nul·la i al color roig la pressió al nivell del mar.

Finalment, en la part dreta es representa la velocitat del paracaigudista en funció de l'altura. En realitat es representa:

• En l'eix horitzontal, 1 - x/x₀, on x₀ es l'altura de llançament.

• En l'eix vertical, v/v_l, on v_l és la velocitat límit constant a la qual arriba el paracaigudista en l'atmosfera uniforme.

Observem que el paracaigudista va incrementant la seua velocitat a mesura que cau, i arriba a un màxim. La velocitat disminueix i arriba a un valor pròxim a v_l quan arriba al terra, en la gràfica al valor v/v_l = 1.

Suggerim al lector que represente en un paper les altures a las quals el paracaigudista arriba a la velocitat màxima x_m en funció de la posició inicial de partida x₀. Feu servir els botons Pausa/Continua i Pas per a apropar-vos a la posició x_m.

Exemple

• Massa del paracaigudista, m = 72 kg.
• Àrea del paracaigudes, A = 0.6 m².
• El paracaigudista parteix del repòs des de la posició x₀= 30000 m.

La velocitat límit v_l a la qual arribaria el paracaigudista en una atmosfera uniforme és

v_l = 47.7 m/s.

Observem que a l'altura x_m= 23996 m s'arriba a la velocitat màxima. De l'equació que relaciona x_m i v_m obtenim v_m,

v_m= 237.3 m/s.

El programa interactiu ens proporciona el valor v_m= 238.5 m/s.