Dinàmica

Moviment en el 
si d'un fluid

Fórmula de Stokes

Mesura de la viscositat
d'un fluid (I)

Mesura de la viscositat
d'un fluid (II)

Descens d'un paracaigudista

Moviment vertical d'una
esfera en un fluid

Tir parabòlico amb
fregament

Activitats

En aquesta pàgina és descriu el moviment vertical d'una esfera de massa m i de radi R en el si d'un fluid viscós, en règim laminar.

Descripció

L'esfera és mou sota l'acció de les forces següents: el pes, l'empenta (se suposa que el cos està completament submergit en el si d'un fluid), i una força de fregament que és proporcional a la velocitat de l'esfera (suposem que el flux és manté en règim laminar).

El pes és el producte de la massa per l'acceleració g de la gravetat. La massa és el producte de la densitat del material ρ_e pel volum de l'esfera de radi R,

D'acord amb el principi d'Arquimedes l'empenta és igual al producte de la densitat del fluid ρ_f pel volum del cos submergit i per l'acceleració de la gravetat,

La força de fregament és proporcional a la velocitat i la seua expressión s'anomena llei de Stokes on h és la viscositat del fluid. L'equació del moviment serà, per tant,

S'arriba a la velocitat límit quan l'acceleració siga zero, és a dir, quan la resultant de les forces que actuen sobre l'esfera és zero,

Aïllem la velocitat límit v_l

L'equació del moviment és

on F és la diferència entre el pes i l'empenta, F = mg - E, i k = 6πRh.

Integrem l'equació del moviment per a obtenir la velocitat de l'esfera en funció del temps,

Obtenim

Aquesta equació ens diu que s'arriba a la velocitat límit vl després d'un temps teòricament infinit. Si representemv en funció del temps t la gràfica té una asímptota horitzontal en v = vl.

Integrem l'expressió de la velocitat en funció del temps per a obtenir la posició x del mòbil en funció del temps t. Suposem que l'esfera parteix de l'origen, x = 0, en l'instant inicial t = 0,

S'obté

Com que l'exponencial tendeix a zero ràpidament a mesura que transcorre el temps, veiem que al cap d'un determinat temps el desplaçament x del mòbil serà proporcional al temps t.

Les diferències entre el moviment d'un cos en caiguda lliure i quan cau en el si d'un fluid viscós es poden resumir en el quadre següent.

Activitats

• Es tria el material de l'esfera en el control de selecció Esfera.
• Es tria el radi en mm de la esfera.
• Es tria el fluid en el control de selecció Fluid.

Es pitja el botó Comença.

Es poden introduir en els controls d'edició altres valors diferents dels que figuren en les taules.

 

Material de l'esfera	Densitat (g/cm3)
Ferro	7.88
Alumini	2.70
Coure	8.93
Plom	11.35
Tungstè	19.34

 

Fluid	Densitat (g/cm3)	Viscositat (kg/m·s)
Aigua	1.0	0.00105
Glicerina	1.26	1.3923
Benzè	0.88	0.000673
Oli	0.88	0.391

Per a determinar la dependència de la velocitat límit amb el radi de l'esfera, amb la densitat del material, amb la densitat i viscositat del fluid:

1. Trieu esferes de radi diferent, del mateix material, i que es moguen en el mateix fluid.
   
2. Trieu esferes del mateix radi però de material diferent, i que es moguen en el mateix fluid.
   
3. Canvieu el fluid en el qual es mouen les esferes, i manteniu-ne les dimensions i el material constitutiu.

El cercle de color roig representa l'esfera que cau en el si d'un fluid viscós. Al costat es representen les forces sobre l'esfera:

• En color roig, la força F constant que és la diferència entre el pes i l'empenta del fluid.
• En color blau, la força de fregament, proporcional a la velocitat, kv.

Quan les dues fletxes són aproximadament iguals la velocitat de l'esfera és constant i igual a la velocitat límit.

Exemple

En un tub vertical ple d'oli d'automòbil deixem caure perdigons de plom. El diàmetr del tub és molt major que el diàmetre del perdigó. Les dades són Densitat del plom, ρe= 11.35 g/cm3 Radi de l'esfera, R = 1.96 mm Densitat de l'oli, ρf = 0.88 g/cm3 Viscositat de l'oli, η = 0.391 kg/(m·s)

S'arriba al 99.5% de la velocitat límit constant en l'instant t tal que

on k = 6πRη = 0.014, i la massa de l'esfera és m = ρ_e4/3πR³ = 3.58·10^-4 kg.

Aïllem el temps, t = 0.13 s.

L'esfera s'haurà desplaçat en aquest temps x = 0.023 m

Si deixem caure la boleta des de la superfície de l'oli podem començar a prendre mesures amb seguretat a 3 centímetres per sota de la superfície.

En aquest exemple s'ha suposat que el fluid es manté en règim laminar quan es mou l'esfera en el seu si. Veurem més endavant que la fórmula de Stokes té un rang de validesa que s'expressa en terme de l'anomenat nombre de Reynolds.