Dinàmica |
Moviment en el si d'un fluid Fórmula de Stokes Mesura de la viscositat d'un fluid (I) Mesura de la viscositat d'un fluid (II) Descens d'un paracaigudista
Tir parabòlic amb fregament |
Rangs de validesa
|
|
|
En les pàgines anteriors hem estudiat el moviment de caiguda d'un cos sota l'acció del seu pes i d'una força de fregament, en els dos casos que és possible obtenir expressions analítiques per a l'evolució de la velocitat en funció del temps i de la posició (altura) del mòbil en funció del temps.
Rangs de validesaLa fórmula general de la força de fregament és
on Cd s'anomena coeficient d'arrossegament, rf és la densitat del medi, A és l'àrea de la secció transversal al moviment (en el caso d'una esfera és pR2), i v és la velocitat. El coeficient d'arrossegament és una funció del nombre de Reynolds, Re. Aquest nombre és important per a definir el comportament d'un fluid i, en particular, la transició del flux laminar al turbulent. El nombre Re es defineix com
on l representa la longitud de l'objecte mesurada al llarg de la seua secció transversal (en el cas d'una esfera és 2R), i h és la viscositat dinàmica del fluid. Per a un interval ampli de nombres Re la forma funcional del coeficient d'arrossegament Cd es pot escriure
Per a nombres petits Re < 1 domina el primer terme. La força de fregament sobre un cos de forma esfàrica de radi R la podem escriure
que és la coneguda fórmula de Stokes. La força de fregament sobre una esfera que es mou a poc a poc en un medi és proporcional a la velocitat. El rang de validesa de la fórmula de Stokes (Re < 1) limita el radi R de l'esfera que emprem en l'experiència de la mesura de la viscositat d'un fluid, per a un fluid (oli) i per a un material (plom) determinat. Conegudes les dades de la densitat del fluid rf , la seua viscositat η (mesurada per altres procediments alternatius) i la velocitat v de l'esfera en aquest medi, el radio R de l'esfera ha de complir que
Per a nombres Re grans, en l'interval 1000 < Re < 200000, el coeficient d'arrossegament Cd és aproximadament constant Cd@ 0.4. La força de fregament per a una esfera de radi R val
La força de fregament és proporcional al quadrat de la velocitat. Resolem el problema del llançament d'un cos de forma esfèrica verticalment cap a dalt amb velocitat inicial v0. Suposarem que el cos té forma esfèrica de radi R, de massa m (o densitat del sòlid r e), i que es mou en un medi de densitat rf . Prenem com a mesura de l'acceleració de la gravetat g = 9.81 m/s2.
Moviment en el buitL'única força que actua és el pes. El moviment del cos és uniformement accelerat,
Força de fregament proporcional a la velocitat. Fórmula de Stokes
Aquesta equació la podem escriure de forma més senzilla
Hem anomenat G l'acceleració efectiva de la gravetat. Integrant aquesta equació amb la condició inicial que en l'instant t = 0 la velocitat v = v0. obtenim
Integrant de nou obtenim la posició del mòbil (altura) en funció del temps. En l'instant inicial t = 0 el cos parte ix de l'origen, x = 0,
Quan el cos descendeix no hem de tornar a plantejar l'equació del moviment ja que la velocitat canvia de signe. Exemple Un gra de sorra de radi R = 0.02 mm= 0.00002 m es llança verticalment en l'aigua amb una velocitat inicial v0= 0.01 m/s. Dades: densitat de la sorra, re= 2670 kg/m3, densitat de l'aigua, rf = 1000 kg/m3, viscositat, h = 0.001 kg/(m·s). El valor de G és 6.14 m/s2 i el de a és 4213 s-1. El nombre Re es manté inferior a 1 (en l'instant inicial) per la qual cosa es pot aplicar la fórmula de Stokes,
En la miniaplicació (applet) següent es compara el moviment d'una partícula llançada verticalment cap a dalt en el buit amb la velocitat inicial v0= 0.01 m/s (en blau) i el moviment vertical cap a dalt i cap a baix del gra de sorra en l'aigua (en roig).
Podem observar com el gra de sorra adquireix ràpidament una velocitat constant. |
Força de fregament proporcional al quadrat de la velocitatCom que la força de fregament és proporcional al quadrat de la velocitat, no canvia de signo quan el cos passa de moure's cap a dalt a moure's cap a baix. Per tant, hem de plantejar les equaciones del moviment en dues etapes, quan el cos ascendeix i quan el cos descendeix.
Exemple Considerem una pilota de plàstic que es llança cap a dalt amb una velocitat inicial v0= 5 m/s. Suposem que la seua massa és m = 78.3 g i el seu radi R = 15 cm. Sabem que la densitat de l'aire és rf = 1.293 kg/m3 i la seua viscositat h = 17.1 10-6 kg/(m·s). El valor de G = 7.53 m/s2 i el de g = 0.176 s/m. El nombre de Reynolds en el moment del llançament de la pilota val
El nombre Re està en l'interval de validesa de la fórmula de la força de fregament, llevat de quan s'aproxima a l'altura màxima quan la velocitat és pròxima a zero. Ara bé, en la major part de la trajectòria la velocitat de la pilota és suficientment alta per tal que el nombre de Reynolds estiga dins de l'interval 1000 < Re < 200000. En la miniaplicació (applet) següent es compara el moviment d'una partícula llançada verticalment cap a dalt en el buit amb la velocitat inicial v0= 5 m/s (en blau) i el moviment vertical cap a dalt i cap a baix de la pilota en l'aire (en roig).
|
Timmerman, van der Weele. On the rise and fall of a ball with linear or quadratic drag. Am. J. Phys. 67(6) June 1999, 538-546.
Moviment vertical
d'una esfera en un fluid
