Dinàmica

Moviment en el 
si d'un fluid

Fórmula de Stokes

Mesura de la viscositat
d'un fluid (I)

Mesura de la viscositat
d'un fluid (II)

Descens d'un
paracaigudista

Moviment vertical
d'una esfera en un fluid

Tir parabòlic amb 
fregament

Força de fregament proporcional al quadrat de la velocitat

En la pàgina anterior, moviment vertical d'una esfera en el si d'un fluid, hem estudiat el moviment d'un objecte llançat verticalment cap a dalt en un medi que n'oposa resistència al moviment i ho comparem amb el moviment del mateix cos en el buit.

Apliquem dos models de força per a descriure la resistència que oposa el medi al moviment del cos:

• Una força de fregament proporcional a la velocitat, per a valors baixos del nombre de Reynolds.

• Una força de fregament proporcional al quadrat de la velocitat, per a nombres de Reynolds elevats.

En aquesta pàgina estudiarem el moviment de projectils disparats amb la mateixa velocitat inicial v₀ però amb angles de tirq diferents.

Com hem vist en la pàgina moviment sota l'acceleració constant de la gravetat, el projectil disparat en el buit amb un angle q = 45º té un abast màxim. Comprovem si aquesta afirmació es manté quan el projectil (per exemple, una pilota de golf) es mou en un medi com l'aire.

Força de fregament proporcional a la velocitat

Si negligim l'empenta, les forces que actuen sobre el cos de massa m són:

El peso, mg. La força de fregament Fr, que té sentit contrari al vector velocitat (tangent a la trajectòria), Fr= -cv.

Les equacions del moviment del cos seran, per tant,

La solució d'aquestes equacions, amb les condicions iniciales t = 0, v_x= v_0x, v_y= v_0y, són

Integrant de nou, amb les condicions inicials t = 0, x = 0, y = 0, tenim

Per a un projectil disparat amb velocitat v₀ i angle de tir q les velocitats inicials són

v_0x= v₀·cosq
v_0y= v₀·sinq

Activitats

S'introdueix:

• El valor del paràmetre c/m, en unitats s^-1, en el control d'edició c/m.
• La velocitat inicial v₀, en el control d'edició Velocitat inicial.

El programa interactiu traça les trajectòries i calcula l'abast dels projectils disparats amb angles de 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 i 45º (en color roig).

Compara aquestes trajectòries amb la que seguiria el mateix projectil disparat amb un angle de 45º en el buit (en color blau).

En la part superior dreta de la miniaplicació (applet) es mostra l'abast de cadascun dels projectils. Podem observar que l'abast màxim no s'obté per a l'angle de tir de 45º sinó per a un angle inferior. I, com cabia esperar, l'abast del projectil disparat amb 45º és inferior en un medi com l'aire que en el buit.

Força de fregament proporcional al quadrat de la velocitat

Si negligim l'empenta, les forces que actuen sobre el cos de massa m són, com ja hem vist,

• El pes, mg.
• La força de fregament F_r, que és de sentit contrari al vector velocitat (tangent a la trajectòria), F_r= -cv.

Les equacions del moviment del cos seran, per tant,

Aquest sistema d'equacions diferencials acoblades es resol aplicant procediments numèrics, com ara el mètode de Runge-Kutta.

Les condicions inicials són les mateixes que en la secció anterior, t = 0, v_0x=v₀·cosq , v_0y=v₀·sinq , x = 0, y = 0.

Activitats

S'introdueix:

• El valor del paràmetre c/m, en unitats m^-1, en el control d'edició c/m.
• La velocitat inicial v₀, en el control d'edició Velocitat inicial.

El programa interactiu traça i calcula l'abast dels projectils disparats amb angles de 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 i 45º (en color roig).

Compara aquestes trajectòries amb la que seguiria el mateix projectil disparat amb un angle de 45º en el buit (en color blau).

En la parte superior dreta de la miniaplicació (applet) es mostra l'abast de cadascun dels projectils. Podem observar que l'abast màxim del projectil no s'obté per a l'angle de tir de 45º sinó per a un angle inferior. I, com cabia esperar, l'abast del projectil disparat amb 45º és inferior en un medi com l'aire que en el buit.