Dinàmica |
Treball i energia Treball i energia El pèndol cònic Moviment sobre la cúpula semiesfèrica El pèndol simple La molla elàstica (I) La molla elàstica (II) Partícula unida a una goma
|
Fonaments físics | |||||||||
|
Es proposa un problema que permet al lector practicar amb tots els aspectes relacionats amb la dinàmica d'una partícula. Es llança una partícula mitjançant un dispositiu que consisteix essencialment en una molla comprimida. Primer, la partícula llisca al llarg d'un pla horitzontal. Després entra en un bucle i, tot seguit, si aconsegueix descriure el ris, passa a un pla inclinat.
Se suposa que hi ha fregament entre el cos i els plans horitzontal i inclinat, pero no hi ha fregament en el bucle, per raó de simplicitat de càlcul.
Fonaments físicsEn aquesta secció analitzarem cadascuna de les etapes en les quals es pot dividir el bucle.
Si comprimim la molla una distància x i després l'amollem en la posició A, podem calcular la velocitat del bloc en l'entrada B del bucle aplicant les equacions del balanç d'energia. En la posició A, el cos tan sols té energia potencial elàstica,
on k és la constant elàstica de la molla; aquesta energia potencial es transforma en energia cinètica en la posició B,
En el trajecte AB es perd energia degut al fregament, WAB= -Fr·(x + 0.7) = -mkmg·(x + 0.7) on x + 0.7 és la distància entre els punts A i B. De l'equació del balanç energètic, WAB= EB - EA obtenim vB,
L'anàlisi del comportament de la partícula en el bucle és un poc més complex: poden ocórrer alguna de les situacions següents:
Ara bé, si la velocitat del bloc en la posició C és inferior a un valor mínim, la partícula no descriurà el bucle. De les equacions de la dinàmica del moviment circular tenim que
on NC és la força normal en C, o força que fa el rail sobre el bloc en aquesta posició. La velocitat mínima s'obté quan NC = 0,
Podem pensar ara què ocorre si no s'abasta la velocitat mínima, vCmín.
La partícula deixa de tenir contacte amb el bucle en l'instant que la força normal és zero, N = 0. Per tant,
En aquest instant la partícula es mou sota l'única força del seu pes i descriu un moviment curvilini sota l'acceleració constant de la gravetat, és a dir, un tir parabòlic. Situem els eixos en el centre del bucle. La posició de llançament, com es veu en la figura anterior, és x0= R·sin(180-q)
La posició de la partícula en funció del temps és
Prenent el centre del bucle com a origen de coordenades, la partícula
torna a lliscar sobre el bucle quan En les situacions 1 i 2, el bloc regressa a la posició B amb la mateixa velocitat amb la qual va entrar en el bucle, ja que com s'ha esmentat, el bucle no té fregament.
Exemples
Examinem les diferents situacions que es produixen quan es comprimix la molla una longitud x. Exemple 1 Es comprimix la molla x = 0.24 quan s'actua amb el punter del ratolí sobre el petit quadrat de color roig, que representa un bloc de massa m = 1 kg. La velocitat amb la qual arriba al punt B, inici de la pista circular, és
El bloc passa pel punt més alt, C, de la pista circular amb una velocitat
Regressa al punt B, part inferior de la pista circular, amb la mateixa velocitat, vB=5.01 m/s, o una velocitat angular ω = 10.02 rad/s. Arriba al punt D, començament de la pista inclinada 30º, amb una velocitat
Calculem el màxim desplaçament del bloc, D, al llarg del pla inclinat:
Exemple 2 Es comprimix ara la molla x = 0.2 m. La velocitat amb la qual arrba al punt B, inici de la pista circular, és
El bloc llisca per la pista circular fins que la velocitat siga zero o la reacció N es faça zero. En aquest cas s'analitza la segona situació:
La velocitat v del bloc en aquesta posició és
El bloc segueix un moviment parabòlic fins que xoca amb la part inferior de la pista circular. Exemple 3 Es comprimix ara la molla x = 0.1 m. La velocitat amb la qual arriba al punt B, inici de la pista circular, és
El bloc llisca per la pista circular fins que la velocitat siga zero,
Retrocedix i passa per B, part inferior de la pista circular, amb la mateixa velocitat, ja que no hi ha fregament, llisca per la pista horitzontal, i pot arribar a A o pot parar-se abans,
El bloc no arriba a la posició A, s'atura a la distància
S'atura a una distància de 47 cm, mesurada des de B, o de 70 - 47= 23 cm, mesurada des de l'origen A.
ActivitatsQuan el bloc està en l'origen, situem el punter del ratolí sobre el bloc de color roig; amb el botó esquerra del ratolí pitjat, s'arrossega el bloc i es comprimix la molla la distància x desitjada. A continuació, s'amolla el botó esquerra del ratolí. El bloc es comença a moure cap al bucle. Per a tornar a repetir l'experiència, se situa el bloc en l'origen pitjant el botó Inici. El botó Pausa serveix per a aturar momentàniament el moviment, que es reanuda quan es torna a pitjar el mateix botó, Continua. Pitjant en el botó Pas s'observa la posició dels blocs en cada interval de temps, pas a pas. Es poden canviar els paràmetres següents:
El programa és flexible i ens permet practicar la major part de les situacions que es descriuen en la dinàmica:
A l'esquerra de la miniaplicació (applet) podem observar de forma qualitativa el balanç energètic. El cercle major és l'energia total, i els colors indiquen les proporcions de cada classe d'energia.
|
Arrossegueu cap a l'esquerra el petit quadrat de color roig amb el punter del ratolí
Treball i energia
(el bucle)
