Aïllant cosq en la segona,

Com que cosq £ 1, aquesta solució existeix tan sols per a w²³ g/l, és a dir, el pèndol abandona la posició vertical tan sols si es compleix aquesta desigualtat.

Sistema de referència no inercial

Per a fer funcionar el pèndol cònic haurem de substituir el fil per una vareta rígida de la mateixa longitud l i que suposarem de massa negligible. L'extrem superior de la vareta estarà fixat a un golfo en l'eix d'un motor que gira amb velocitat angular w. En el sistema de referència que gira amb la vareta tenim un sòlid rígid (la vareta) amb un punt fix O i un sol grau de llibertat, l'angle q.

A causa de la força centrífuga sobre la partícula, la vareta es desviarà de la seua posició vertical un angle q  quan la velocitat angular w del motor siga suficientment gran. En el sistema de referència en rotació amb l'eix del motor, la vareta s'hi trobarà en equilibri si el moment total del pes i de la força centrífuga respecte de l'eix O és zero.

• El moment del pes és

mg·l·sinq

• El moment de la força centrífuga és

mw ²·l·sinq ·l·cosq

Els dos moments tenen la mateixa direcció (perpendicular al pla format per la força i pel punt O) però sentits oposats. Igualant el moment total a zero,

ml·sinq·(w²l·cosq - g) = 0

Tenim, de nou, dues solucions

sinq = 0
w²·l·cosq = g

Estabilitat de les solucions

El pes és una força conservativa. L'energia potencial augmenta quan la partícula es desvia un angle q, Eg= mg·(l - l·cosq)

La força centrífuga depén tan sols de la distància x a l'eix de rotació; és una força conservativa semblant a la que fa una molla elàstica.

La força que fa una molla elàstica és de sentit contrari al desplaçament, F = -kx, la seua energia potencial és positiva E_p= kx²/2.

La força centrífuga té el mateix sentit que el desplaçament, F = mw ²·x

i la seua energia potencial serà, per tant, negativa, E_c= -mw ²x²/2. L'energia potencial inicial, per a x = 0, es pren com E_c= 0.

Quan el pèndol s'ha desviat un angle q , el desplaçament horitzontal és x = l·sinq . L'energia potencial total de la partícula serà la suma de les dues contribucions, E_p= E_g + E_c,

La condició d'equilibri s'estableix quan E_p siga un extrem (màxim o mínim),

Equació que proporciona dues solucions

L'estabilitat de la solució depén de la derivada segona,

1. Per a la primera solució, q = 0

• Sempre que w ²< g/l, la derivada segona és positiva i l'equilibri és estable (vegeu la figura de l'esquerra)
• Si w ²>g/l, la derivada segona és negativa i l'equilibri és inestable (vegeu la figura de la dreta)

2. Per a q = p la derivada segona és sempre negativa i l'equilibri és inestable en les dues figures

3. Per a q = arccos(g/l w ²)

• Si w ²>g/l, la solució és estable, figura de la dreta

El pèndol cònic està, per tant, caracteritzat per una velocitat angular crítica,

per damunt de la qual el pèndol se desvia de la vertical. Per baix d'aquesta velocitat angular crítica el pèndol roman en la posició vertical, q = 0.

Un dispositiu semblant

Considerem un ar de radi R que pot girar al voltant del seu diàmetre vertical amb velocitat angular w. Un punt material de massa m es mou al llarg de la circumferència sense fregament. La seua posició està donada per l'angle q,  com s'assenyala en la figura.

Les forces que actuen sobre la partícula, quan estem situats en el Sistema de referència en rotació, són:

• El pes, mg
• La força centrífuga, F_c= mw²R·sinq 
• La reacció, N, de la superficie circular

Descomponem les forces en la direcció vertical i horitzontal. En la situació d'equilibri es complirà que

N·cosq = mg
N·sinq = F_c

Que són les mateixes equacions que hem obtingut al principi d'aquesta pàgina.

Si descomponem les forces en la direcció tangencial i normal a la circumferència tindrem que en la situació d'equilibri:

mg·sinq = F_c·cosq

La partícula està en equilibri en la direcció normal. Si no està en equilibri en la direcció tangencial, la força neta en aquesta direcció és

F = -mg·sinq + F_c·cosq  = -mg·sinq + mw ²·R·sinq ·cosq

Aquesta força depén tan sols de la posició q  i és conservativa. L'energia potencial corresponent a la força F(q) és

Si prenem com a nivell zero d'energia potencial E_p(0) = 0 per a q = 0, integrem i fem algunes operacions, obtenim

La mateixa expressió que hem obtingut en l'apartat "Estabilitat de les solucions".

Activitats

Estudiem el comportament d'un pèndol cònic que té una longitud l = 1 m fixada en el programa interactiu.

Podem canviar la velocitat angularw de rotació del motor introduint un valor en el control d'edició Velocitat angular.

Es pitja el botón Comença.

• Si la velocitat angular de rotació w és menor que el valor crític rad/s el pèndol roman en la posició vertical q = 0.
   
• Si la velocitat angular de rotació w és major que el valor crític, el pèndol es desvia de la posició vertical un angle

A la dreta de la miniaplicació (applet) es representa l'energia potencial E_p en funció de l'angle q  en unitats mgl. Podem observar que els mínims i els màxims de l'energia potencial, és a dir, les posicions d'equilibri estable i inestable.

Activant la caseta Vectors es mostren les forces (en color blau) sobre la partícula, suspesa d'un fil inextensible:

• El pes
• La tensió de la corda

Es dibuixa, mitjançant una fletxa de color roig, l'acceleració normal, dirigida cap al centre de la trajectòria circular.