Dinàmica |
Treball i energia Treball i energia El pèndol cònic
El pèndol simple La molla elàstica (I) La molla elàstica (II) Partícula unida a una goma Treball i energia (el bucle) |
 Moviment
sobre un cúpula semiesfèrica sense fregament |
|||||
|
En aquest exemple comprovarem que si una partícula es mou sota l'acció de forces conservatives l'energia total de la partícula es conserva en tots els punts de la trajectòria. Una partícula de massa m llisca sense fregament per una cúpula invertida de radi R. Determineu l'angle per al qual la partícula deixa de tenir contacte amb la cúpula. Com a problema més avançat estudiarem el moviment de la partícula quan la cúpula presenta fregament en lliscar la partícula.
Moviment sobre la cúpula semiesfèrica sense fregamentLa partícula s'hi troba inicialment en repós sobre el vèrtex de la cúpula, en una posició d'equilibri inestable. Quan es desvia lleugerament d'aquesta posició, la partícula llisca sense fregament i n'incrementa la velocitat fins que arriba un moment en el qual deixa de tenir contacte amb la cúpula. En aquest apartat calcularem la posició (angle) θc per al qual la reacció N de la superficie semiesfèrica és nul·la.
Aplicant el principi de conservació de l'energia, Ei = Ef, podem calcular la velocitat del mòbil v en la posició θ, v2= 2gR·(1-cosθ)
La partícula descriu un moviment circular amb acceleració tangencial at i aceleració normal an. Aquestes acceleracions es determinen aplicant la segona llei de Newton a un moviment circular de radi R, · equació del moviment en la direcció tangencial,
· equació del moviment en la direcció normal,
La primera equació ens permet calcular la posició angular θ en funció del temps, t,
La segona equació, junt al principi de conservació de l'energia, ens permet calcular la reacció del pla, N, en la posició θ,
La partícula deixa de tenir contacte amb la cúpula quan la reacció N s'anul·le: per a l'angle θc tal que
Aproximadament 48º mesurats des de la vertical. Com veiem, l'angle límit és independent del radi de la cúpula i de la massa de la partícula. La velocitat de la partícula quan arriba a aquesta posició és
Amb velocitat inicial
les equacions del moviment són
El punt d'impacte sobre el terra es calcula posant y = 0 en la segona equació, aïllant el temps t, i substituint-ho en la primera. Exemple Si R = 0.15 cm, posant y = 0 en la segona equació, aïllem el temps que tarda la partícula en arribar al terra, mesurat des del moment que deixa de tenir contacte amb la cúpula, t = 0.086 s, i substituint en la primera equació, obtenim l'abast x = 0.17 m = 17 cm, mesurat des del centre de la cúpula.
ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botó Nou. Es pitja el botó Comença per a observar el moviment de la partícula. Activant la casella Forces es dibuixen les forces sobre la partícula. Es pot aturar el moviment de la partícula quan la reacció del pla, N, és zero pitjant el botó Pausa. Quin angle s'ha desplaçat? Per a apropar-nos a la posició desitjada es pitja successivament el botó Pas. Per a continuar el moviment es pitja el botó Continua. El cercle situat en la part superior esquerra representa l'energia total de la partícula, la porció de color roig representa l'energia cinètica i, la porció blava, l'energia potencial. Podem observar que l'energia potencial es va transformant en energia cinètica, però la suma dels valors de les dues classes d'energia es manté constant al llarg de la trajectòria de la partícula. |
|
Moviment sobre la cúpula semiesfèrica amb fregamentSuposem ara que la cúpula presenta un fregament al lliscament de la partícula, el coeficient cinètic de la qual és μ. Determinem la velocitat v de la partícula en funció de la posició angular θ, quan li proporcionem a la partícula una velocitat inicial v0 en la posició inicial θ = 0. Com veurem, poden ocórrer dos casos:
Dinàmica del moviment circular
La partícula descriu un moviment circular amb acceleració tangencial at i acceleració normal an. Aquestes acceleraciones es determinen aplicant la segona llei de Newton: · equació del moviment en la direcció tangencial,
· equació del moviment en la direcció normal,
Les acceleracions tangencial i normal s'expressen en funció de la velocitat v de la manera següent:
Aïllant la reacció N en la segona equació del moviment i substituint-la en la primera obtenim l'equació diferencial de primer ordre:
Anomenant x = v2/(Rg) ens queda l'equació diferencial
la solució de la qual es compon de dos termes:
per una banda, la solució particular Introduint la solució particular en l'equació diferencial obtenim els valors dels coeficients A i B,
Busquem la solució de l'equació diferencial homogènia,
Integrant els dos membres obtenim lnx = 2μθ + constant, o bé x2= C·exp(2μθ) La solució completa és x = x1 +x2
La constant C es determina a partir de les condicions inicials; per a θ = 0, v = v0. Finalment, l'equació que ens proporciona la velocitat v en funció de l'angle θ és
El terme
Que la partícula deixe d'estar en contacte amb la cúpula, és a dir, la reacció N es faça zero, amb v > 0. Que la partícula es detinga, v = 0, amb N > 0.
Balanç energètic L'energia de la partícula en la posició inicial és:
Quan la partícula està en la posició angular θ,
El treball fet per la força de fregament, Wnc< 0, també es pot calcular trobant la diferència entre l'energia final menys l'energia inicial,
Podem comprovar que pels dos procediments el treball de la força de fregament val
Exemple
Si la velocitat inicial és v0= 1.5, la partícula deixa de tenir contacte amb la cúpula semiesfèrica en la posició θc= 42º.
Siga μ = 0.3 i v0=1.8 Per a θ = 30º la velocitat v = 1.97 i la reacció N = 4.59 Per a θ = 40º, la velocitat v = 2.34 i la reacció N = 2.01 La partícula deixa de tenir contacte amb la cúpula per a θc= 46º, amb v = 2.61 i N ≈ 0. La tasca del lector serà la d'investigar quins valors de la velocitat inicial v0 i del coeficient de fregament μ fan que θc siga tan proper a 90º com siga possible. Comproveu l'exemple següent: μ = 1.0 i v0 = 2.257.
ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botó Comença. Observem el moviment de la partícula lliscant sobre la cúpula. Sobre la partícula es dibuixen les forces: pes mg, reacció N i força de fregament Fr. En la part superior dreta de la miniaplicació (applet) es proporcionen les dades de
Quan la reacció N es fa zero es mostren les dades de la velocitat v en la posició θc en la qual la partícula deixa de tenir contacte amb la cúpula semiesfèrica. El cercle situat en la part superior esquerra representa l'energia total de la partícula; la porció de color roig representa l'energia cinètica i la porció blava l' energia potencial. Podem observar que l' energia potencial es va transformant en energia cinètica, però la suma dels valors de les dues classes d'energia no es manté constant al llarg de la trajectòria de la partícula si hi ha fregament. El trebal de la força de fregament ve indicat per la porció negra del cercle de radi major. |
Referència
Mungan C. Sliding on the surface of a rough sphere. The Physics Teacher, Vol 41, September 2003, 326-328.
Moviment sobre una
cúpula semiesfèrica
