Dinàmica |
Treball i energia Treball i energia El pèndol cònic Moviment sobre una El pèndol simple La molla elàstica (I) La molla elàstica (II)
Treball i energia (el bucle) |
Força que fa una goma elàstica | |||||||||||
|
En altres pàgines s'ha estudiat la dinàmica d'una partícula unida a una molla elàstica. En aquesta pàgina estudiarem el moviment d'una partícula unida a una goma elàstica, una situació física semblant però que té una riquesa de comportaments major.
Força que fa una goma elàsticaSuposem una goma de longitud d subjecta per l'extrem superior; de l'extrem inferior es pot penjar un cos de massa m. El comportament de la goma és diferent al d'una molla elàstica, com podem observar en la figura.
Si subjectem el cos amb la mà i fem que descendisca molt a poc a poc, arriba un moment que la força que fa la goma equilibra el pes del cos i l'acció de la mà ja no és necessària. En aquesta situació d'equilibri el cos s'ha desplaçat xe, mg = kxe
La deformació màxima de la goma, xm, s'abasta quan v = 0,
A continuació descriurem les diferents etapes del moviment d'un cos unit a una goma elàstica inicialmente estirada, i que presenta una riquesa de comportaments major que l'equivalent d'un cos unit a una molla elàstica.
Oscil·lacionsUn cos de massa m unit a una molla elàstica de constant k descriu un Moviment Hrmónico Simple l'amplitud del qual és independent del període i la freqüència angular del qual és ω2 = k/m. Suposem que el cos de massa m es desplaça cap a baix una longitud z0 des de la posició d'equilibri i després s'amolla (v = 0), com s'indica en la figura.
El cos ascendirà empentat per la força -kx + mg. L'equació del moviment s'escriurà
La solució d'aquesta equació diferencial, com es pot comprovar per simple substitució, és x = xe+ A·sin(ωt)
+ B·cos(ωt) La posició x del cos en funció del temps t serà x = xe+ z0·cos(ωt) Poden ocórrer dos casos:
Exemple Per a k = 400 N/m i m = 350 kg, la posició d'equilibri xe és
Siga la posició de partida z0 = 12.65 m (segon cas) en l'instant t = 0, per sota de la posició d'equilibri. Emplrant el principi de conservació de l'energia calculem z1 = 7.21 m, l'altura que s'eleva el cos en la regió x < 0. Calculem la freqüència angular, ω = 1.15 rad/s, i el període de l'oscil·lació, 6.22 s, que com veiem és diferent de 2π/ω degut a que el cos es mou en la regió x < 0 on la força que fa la goma és F = 0.
El problema generalConsiderem una goma elàstica de longitud d sense deformar i de constant elàstica k (a l'esquerra en la figura). Un dels extrems se subjecta a un pal d'altura h. De l'extrem lliure penja un cos de massa m inicialment ancorat a la base del pal, com podem apreciar en la figura (en el centre). Per a descriure el moviment unidimensional establim l'origen en la base del pal i l'eix X com s'indica en la figura. Una vegada s'amolla el cos estudiarem les diferents etapes del seu moviment fins que regressa a la base del pal. Suposarem que la goma és perfectament elàstica i que el fregament del cos amb l'aire és negligible.
Tenim l'equació diferencial d'un MHS,
de freqüència angular ω2= k/m. La solució de l'equació diferencial té la forma x = x0+ A·sin(ωt) + B·cos(ωt) amb x0= h - d - g/ω2. Les condicions inicials (t = 0) x = 0 i v = dx/dt = 0 determinen els valors de les constants A i B. El resultat final és x = x0·(1 - cos(ωt)) El cos arriba a la posició x = h - d en l'instant t1 tal que -g/ω2= x0·cos(ωt1) amb una velocitat v1 v1= x0ω·sin(ωt1) Aquesta velocitat es pot obtenir aplicant el principi de conservació de l'energia,
La velocitat v2 del mòbil serà v2= v1 - g(t2 - t1) Aplicant el principi de conservació de l'energia obtenim v2 a partir de v1
Aquesta velocitat s'abasta en l'instant
Les condicions inicials (t = t2) x = h + d, v = dx/dt = v2 determinen els valors de les constants A i B, v = v2cos(ω(t - t2)) - (g/ω)·sin(ω(t - t2)) L'altura màxima s'abasta en l'instant tm tal que v = 0,
Apliquem el principi de conservació de l'energia per a obtenir l'altura màxima xm,
A partir d'aquest instant s'inicia el viatge de tornada fins que arriba al punt de partida, x = 0, amb velocitat nul·la, v = 0, i emprant un temps 2tm. La posició x = h + d s'abasta en l'instant t3= tm+ tm - t2= 2tm - t2 amb una velocitat –v2.
La goma no influeix en el moviment del cos, de manera que les equacions del moviment són semblants a les de la segona etapa. La posició i la velocitat del cos en l'instant t > t3 s'obtenen a partir de les equacions del moviment rectilini uniformement accelerat, v = -v2
- g(t
- t3) Arriba a la posició x = h - d en l'instant t4= t3+ (t2 - t1) = 2tm - t1 amb velocitat –v1.
L'equació del moviment és la mateixa que en la primera etapa. La solució de l'equació diferencial té la forma x = x0+ A·sin(ωt) + B·cos(ωt) amb x0= h - d - g/ω2. Les condicions inicials (t = t4) x = h - d, v = dx/dt = -v1 determinen els valors de les constants A i B. El resultado final és v = -v1cos(ω(t - t4)) - (g/ω)·sin(ω(t - t4)) S'arriba a la posició x = 0 en l'instant 2tm amb velocitat v = 0, i es completa un cicle del moviment.
Casos particulars1.- El cos passa per la posició x = h - d però no arriba a la posició x = h + d Si l'energia del cos és
el cos passa per la posició x = h - d amb una velocitat v1 i empra un temps t1 calculat en la primera etapa. El cos arriba després una altura màxima xm< h + d,
en l'instant tm= t1+ v1/g. El cos, després de passar la posició x = h - d, en el camí de tornada regressa a l'origen x = 0 en l'instant 2tm. 2.- No s'arriba a la posició x = h - d Si l'energia del cos és
el cos arriba a una altura màxima xm< h - d que es calcula aplicant el principi de conservació de l'energia, o posant v = 0 en l'equació del moviment de la partícula, en la primera etapa,
Descriu un MHS al voltant de la posició d'equilibri x0= xm/2. La posició d'equilibri es calcula posant a = 0 en la primera etapa del moviment, o bé k·(h - d - x0) = mg; resulta x0= h - d - g/ω2. El període de l'oscil·lació és 2π/ω; és el temps que tarda en eixir de x = 0 i regressar a la mateixa posició.
ExemplesExemple 1 Siga k = 960.0 N/m i m = 300 kg. El quadrat de la freqüència angular és ω2= 960/300 = 3.2 rad2/s2.
3) L'altura màxima
Exemple 2 Siga k = 360.0 N/m i m = 300 kg. El quadrat de la freqüència angular és ω2= 360/300 = 1.2 rad2/s2. Estem en el cas particular 1: 1) x = h - d = 20 m.
2) L'altura màxima es calcula aplicant el principi de conservació de l'energia:
Exemple 3 Siga k = 360.0 N/m i m = 500 kg. El quadrat de la freqüència angular és ω2= 360/500 = 0.72 rad2/s2. Estem en el cas particular 2, Aplicant el principi de conservació de l'energia determinem l'altura màxima, xm, xm= 12.78 m. El temps que tarda en regressar a l'origen x = 0 és el període de l'oscil·lació 2π/ω = 7.40 s. L'oscil·lació es fa al voltant de la posició d'equilibri, x0= xm/2 = 6.39 m.
ActivitatsS'introdueix:
En el programa s'han fixat les dades de:
Es pitja el botó Comença. En el cas que s'introduisquen dades de m i k tals que k·(h - d) ≤ mg el cos no pot ascendir; el programa no prosegueix i ens convida a disminuir la massa o a augmentar la constant elàstica per a poder continuar. Utilizant els botons Pausa i Pas podem conéixer:
Al costat del cos es dibuixen les forces que actuen sobre el cos. En la part dreta es dibuixa un diagrama en forma de pastís que ens mostra com es van transformant les energies (cinètica, potencial gravitatòria i potencial elàstica) a mesura que es mou la partícula. |
Partícula unida a
una goma
