Dinàmica

Sistemes de massa
variable

Model discret de
coet

Coet d'empenta
constant

Coet de dues etapes

Moviment vertical
d'un coet

Descens del mòdul
lunar

Coet "perfecte"

Flux de sorra

Dipòsit de sorra
que es mou

El rellotge de sorra

La força que fa
la pressió atmosfèrica

La pluja cau en
 un vagó de tren

Una corda llisca
sobre una taula

El coet de Torricelli

Moviment d'una
cadena

Quan s'apliquen forces

Activitats

Referències

En els cursos de Física General s'il·lustra l'aplicació de la definició de força F = dp/dt amb el problema del vagó de ferrocarril que n'incrementa la massa a raó constant, a causa de la pluja que hi cau uniformement.

Quan no s'apliquen forces

Es resol un problema l'enunciat del qual és semblant al següent:

Un vagó de ferrocarril, que està obert per dalt, es mou al llarg de vies rectilinies amb velocitat v₀. En un momento donat comença a ploure verticalment i s'incrementa la massa del vagó a raó constant de f kg/s. Si sabem que la massa inicial del vagó és m₀ kg, calculeu:

• La massa m del vagó en funció del temps t

• La velocitat v del vagó en funció del temps

•  L'acceleració a

• La posició x del mòbil en funció del temps t, si parteix de l'origen

• La força F necessària per tal que el vagó es moga amb velocitat constant v₀

La solució del problema és la següent.

• Massa del vagó

La massa del vagó en l'instant t és

m = m₀ + f·t

•  Velocitat del vagó

Com que la força sobre el vagó és nul·la, F = 0, el moment lineal es manté constant.

F = dp/dt, si F = 0, p = constant.

En incrementar-se la massa del vagó en disminueix la velocitat. La velocitat v del vagó en l'instant t és

m₀·v₀ = (m₀ + f·t)·v

Tenim una situació equivalent quan un cos de massa m₀ que du una velocitat inicial v₀ xoca inelàsticament amb un cos petit de massa Δm en repòs. La velocitat v₁ després del primer xoc és

mv₀ = (m + Δm)v₁

Si el cos resultant de massa m₀+Δm es torna a trobar amb un altre cos petit de massa Δm en repòs, la velocitat v₂ després del segon xoc és

m₀v₀ = (m₀ + Δm)v₁ = (m₀ + 2Δm)v₂.

Després de n xocs consecutius el cos tindrà una massa (m₀+ n·Δm) i la seua velocitat serà

En l'expressió anterior el terme f·t és l'increment de la massa del vagó. En aquesta, n·Δm és l'increment de la massa del cos com a resultat dels xocs inelàstics.

• L'acceleració del vagó és

Tot i que la força sobre el vagó és nul·la, l'acceleració no ho és.

• Posició del vagó

Si integrem l'expressió de la velocitat obtenim la posició x del vagó en funció del temps

• Velocitat constant del vagó

En augmentar la massa m el vagó disminueix la velocitat v. Per tal que el vagó es moga amb velocitat constant v₀ és necessari aplicar una força F tal que

Quan s'apliquen forces

Estudiarem en aquest apartat el moviment d'un vagó la massa inicial del qual és m₀ i la velocitat inicial del qual és v₀, que n'incrementa la massa a raó constant de f kg/s. Sobre el vagó es fa una força F mitjançant una màquina de tren connectada al vagó i, a més a més, estudiarem l'efecte de la força de fregament el coeficiente dela qual és μ.

• La massa del vagó en l'instant t és m = m₀ + f·t

• La seua velocitat és v, i el seu moment lineal p = (m₀ + f·t)v

Les forces que actuen sobre el vagó són:

• El pes (m₀ + f·t)g

• La reacció N de les vies, igual i de sentit contrari al pes, N = (m₀ + f·t)g

• La màquina de tren arrossega el vagó amb una força F constant

• La força de fregament F_r= μ·N = μ·(m₀ + f·t)g, que no és constant i s'incrementa amb la massa del vagó.

 L'equació del moviment del vagó és

En l'instant t = 0 la velocitat inicial és v₀ i el vagó parteix de l'origen x = 0.

p = p₀+ (F - μm₀g)t - μfg·t²/2

• Velocitat del vagó

La velocitat v del vagó en l'instant t és

La velocitat es fa zero quan s'anul·le el numerador, és a dir, en l'instant t tal que

Si el vagó parteix del repòs, v₀= 0, el temps que tarda en aturar-se és

El temps és positiu (el vagó es mou) si F > μm₀g (la força de fregament inicial)

• Posició del vagó

La posició x del vagó en funció del temps t és

Per a resoldre la integral es divideix primer el numerador entre el denominador i es calcula el quocient i la resta de la divisió. El resultat final és

Casos particulars

• Si F = 0 i μ = 0 obtenim

• Si F≠0 i μ = 0 obtenim

La velocitat v es fa constant i igual a v₀ quan F = f·v₀; aleshores x = v₀·t

Exemples

Exemple 1

Siga F = 0 i μ = 0

•  f = 0.7 kg/s

• v₀ = 0.1 m/s

• m₀ = 50 kg

 La velocitat en l'instant t = 50 s és

Exemple 2

Siga μ = 0

•  f = 0.7 kg/s

• v₀ = 0.1 m/s

• m₀ = 50 kg

La velocitat v₀ és constant quan la força F = f·v₀ = 0.7·0.1 = 0. 07 N

Quan F és més petita que aquest valor el vagó es frena, i quan és més gran s'accelera.

Exemple 3

Siga μ = 0.1

•  f = 0.7 kg/s

• v₀ = 0 m/s

• m₀ = 50 kg

Introduïm un valor de la força F que siga major que la força de fregament inicial  μm₀g = 0.1·50·9.8 = 49 N.

Per exemple, F = 60 N.

Observem que el vagó parteix del repòs i s'accelera, fins que arriba a una velocitat màxima i després es decelera fins que s'atura. El temps que tarda en aturar-se és

En aquest temps el vagó s'ha desplaçat

Activitats

S'introdueix:

• La velocitat inicial v₀, en el control d'edició Velocitat inicial

• La massa inicial del vagó s'ha fixat en m₀ = 50 kg

• La força F amb la qual estira la màquina de tren del vagó, en el control d'edició Força

• La raó constant f de l'increment de la massa del vagó, actuant en la barra de desplaçament Flux

• El coeficient de la força de fregament μ, en el control d'edició Coef. fregament

Es pitja el botó Comença.

S'observa el moviment del vagó arrossegat, o no, per la màquina segons la força F siga positiva o nul·la, respectivament.

La massa del vagó s'incrementa amb el temps, a causa de caiguda de la pluja, que es representa pel moviment vertical de punts de color blau.