Dinàmica

Sistemes de massa
variable

Model discret de
coet

Coet d'empenta
constant

Coet de dues etapes

Moviment vertical
d'un coet

Descens del mòdul
lunar

Coet "perfecte"

Flux de sorra

Dipòsit de sorra
que es mou

El rellotge de sorra

La força que fa 
la pressió atmosfèrica

La pluja cau en
un vagó de tren

Una corda llisca
sobre una taula

El coet de Torricelli

Moviment d'una
  cadena

Moviment de la cadena cap a baix

Balanç energètic

Successives posicions de l'extrem de la cadena per a les quals v = 0

Activitats

Força que fa el terra sobre la cadena que cau

Referències

En aquesta pàgina s'estudia el moviment d'una cadena apilada sobre el terra; uno dels seus extrems penja d'un fil fi que passa per una politja menter que l'altre extrem del fil està unit a un cos, com es mostra en la figura.

El pes del cos és igual al pes ma d'una longitud a de la cadena, on m és la massa per unitat de longitud de la cadena. Per tant, l'extrem de la cadena unit al fil s'eleva una longitud x = a per tal que s'equilibre amb el pes del cos en una màquina d'Atwood, com es mostra en la figura.

En la situació inicial la cadena està completament apilada en terra, x = 0, i la velocitat inicial és v = 0. El bloc estira de la cadena, que s'eleva fins que arriba a una altura màxima. Analitzem el moviment de la cadena quan l'extrem s'ha elevat una altura x, com es mostra en la figura.

Moviment de la cadena cap a dalt

Les forces sobre el cos són: El pes del cos, mag La tensió del fil, T.

L'equació del moviment és

Les forces sobre la cadena són: El pes de la longitud x de la cadena, mxg, que actua en el centre de masses La tensió del fil, T, que és la mateixa als dos costats de la politja si es considera que té una massa negligible.

Emprem la definició de força F = dp/dt, on p és el moment lineal de la cadena, per a escriure l'equació de moviment:

Eliminem T del sistema de dues equacions

                (1)

Expressem v en funció de l'altura x de l'extrem de la cadena, en lloc del temps t,

i multipliquem l'equació diferencial per (a+x); resulta

Si fem el canvi de variable z² = (a+x)²·v²

i integrem

Desfem el canvi

Si partim de la posició inicial x₀= 0 amb velocitat inicial v₀= 0,

L'extrem de la cadena es mou cap a dalt, el cos es mou cap a baix amb la mateixa velocitat fins que es deté, v = 0, en la posició

Per a calcular la posició de l'extrem de la cadena en funció del temps resolem mitjançant procediments numèrics l'equació diferencial del moviment (1)

amb les condicions inicials t = 0, x = 0, dx/dt = 0.

Moviment de la cadena cap a baix

L'equació del moviment del cos (v < 0) és

D'acord amb el primer article esmentat en les referències, durant el moviment cap a baix de la cadena el terra ha d'actuar amb una força addicional suficient per a compensar el moment lineal de les baules de la cadena que el colpegen. Aquesta força addicional és mv², tal com es justifica en l'apartat "força que fa el terra sobre la cadena que cau".

L'equació de moviment de la cadena cap a baix (v < 0) serà

Eliminem T del sistema de dues equacions

          (2)

Expressem v en funció de la longitud x de la cadena en lloc del temps t, com en l'apartat anterior,

Integrem amb la condició que en la posició x₀, v = v₀

La integral és immediata

En el moviment cap a baix parteix de la posició inicial

amb velocitat v₀ = 0,

La velocitat es fa nul·la, v = 0, en la posició x_d= 0.412·a, que s'obté en resoldre l'equació transcendent

Per a calcular la posició de l'extrem de la cadena en funció del temps resolem mitjançant procediments numèrics l'equació diferencial del moviment (2)

amb les condicions inicials

t = t₀,

dx/dt = 0

Balanç energètic

Per a efectuar el balanç energètic comparem la situació inicial i la final, quan l'extrem de la cadena s'ha elevat una altura x, com es mostra en la figura.

L'energia inicial, quan l'extrem de la cadena està en terra, x = 0, i el cos està a una altura h sobre el terra és

E₀ = magh

Quan l'extrem de la cadena ascendeix una altura x:

• L'energia potencial del cos és mag(h-x)

• L'energia potencial del centre de massa de la cadena és mxg·x/2 = mgx²/2

• L'energia cinètica del cos és mav²/2

• L'energia cinètica de la cadena és mxv²/2

L'energia final és la suma de les quatre contribucions:

La raó del canvi d'energia E amb el temps t és

• En el moviment cap a dalt tenim que (1)

Simplifiquem i arribem a l'expressió

La energia total del sistema disminuye amb el temps en proporció al cubo de la velocitat.

• En el moviment cap a baix (2)

i per tant

Com que en el moviment cap a baix v < 0, l'energia E del sistema disminueix de la mateixa manera en el moviment cap a dalt.

Calculem la variació d'energia en el moviment cap a dalt des de x = 0 (posició inicial de partida) fins a

En les dues posicions la velocitat v = 0,

Calculem la variació d'energia en el moviment cap a baix des de la posició

fins la posició x_d= 0.412·a,

Successives posicions de l'extrem de la cadena per a les quals v = 0

• Moviment cap a dalt

La velocitat del cos i de l'extrem de la cadena ve donada per l'equació

Com que la velocitat v₀= 0 en la posició inicial x₀= x_d i v = 0 en la posició final x = x_u, coneguda x_d es pot calculas x_u si resolem l'equació cúbica

amb z = x/a  i  z₀ = x_d/a.

Per exemple, l'extrem de la cadena parteix del repòs v₀ = 0 en la posició inicial x_d= 0, es mou cap a dalt fins que arriba a la posició

• Moviment cap a baix

La velocitat del bloc durant el moviment cap a baix de l'extrem de la cadena ve donada per l'equació

Com que la velocitat v₀ = 0 en la posició inicial x₀ = x_u i v = 0 en la posició final x = x_d, si coneixem x_u es pot calcular x_d si resolem l'equació transcendent

amb z = x/a  i   z₀= x_u/a.

Per exemple, l'extrem de la cadena parteix del repòs en la posició inicial

i es mou cap a baix fins que arriba a la posició x_d= 0.412·a.

En la taula i en la gràfica s'arrepleguen les dades de les posicions successives x_d/a i x_u/a de l'extrem de la cadena per a les quals la seua velocitat v = 0.

xd/a xu/a 0.0 1.732 0.412 1.489 0.580 1.368 0.673 1.295 0.732 1.246 0.773 1.211 0.803 1.185 0.826 1.165 0.844 1.149

Les dues succesions convergeixen lentament cap al valor 1, que és la situació d'equilibri d'un cos la massa del qual és igual a la d'una porció de longitud a de la cadena (vegeu la figura del principi de la pàgina).

Activitats

S'introdueix:

• El valor de la massa del bloc, igual a una porció de longitud a de la cadena, actuant sobre la barra de desplaçament Massa cos/cadena

• La densitat lineal m o massa per unitat de longitud de la cadena s'ha fixat en el valor m = 1

Es pitja el botó Comença.

S'observa el moviment del cos i de la cadena cap a dalt i cap a baix.

Sobre la regla situada a l'esquerre de la miniaplicació (applet) s'assenyalen les posicions successives de l'extrem de la cadena per a les quals la velocitat és nul·la (v = 0).

En la part dreta de la miniaplicació (applet) un diagrama en forma de pastís ens mostra l'energia del sistema format pel cos i la cadena, dividit en sectors:

• L'energia potencial del cos, en color blau

• L'energia potencial del centre de massa de la cadena, en color roig

• L'energia cinètica del cos, en color blau clar

• L'energia cinètica de la part de la cadena que penja, en color rosa

• L'energia que es va perdent en el moviment cap a dalt i cap a baix de la cadena, en color negre

Força que fa el terra sobre la cadena que cau

Per a entendre l'origen de la força que fa el terra sobre una cadena que cau resolem primer el problema següent.

Una metralladora dispara 600 bales de 40 g cada minut amb una velocitat de 500 m/s. Calculeu la força mitjana amb la qual s'ha de subjetar la metralladora.

En la part de dalt es mostra la força instantània que fa la metralladora en disparar cadascuna de les bales. La força creix ràpidament però dura molt poc de temps. En la part inferior es mostra la força mitjana <F> que fa la metralladora en disparar successivament N bales.

Per a cadascuna de les bales la variació de moment lineal és igual a l'impuls (àrea sota cadascuna de les corbes),

Quan es disparen N bales el canvi de moment total és igual a l'impuls total

Aïllem la força mitjana <F>

Considerem ara el cas d'una cadena amb baules molt petites (aproximació contínua). La cadena té una massa m per unitat de longitud. Ssuposem que en l'instant t la velocitat de la cadena és v.

En l'interval de temps entre t i t+dt una massa m·v·dt xoca amb el terra amb velocitat v. Si després del xoc la cadena roman apilada en repòs, el canvi de moment lineal és dp = (m·v·dt)·v. L'impuls de la força F que fa el terra és F·dt.

Com que F·dt = dp aleshores F = mv².

Referències

Davis A. Error in the vibrating chain problem. Am. J. Phys. 20 (2) February 1952, 112-114.

Satterly J. Some experiments in Dynamics, chiefly on vibrations. Am. J. Phys. 18 (7) October 1950, 405-416.