Electromagnetisme
Electromagnetisme
|
Condensadors Condensador Model elèctric d'un cicle de Carnot Condensador cilíndric Condensador amb Força sobre un dieléctrico (I) Força sobre un dielèctric (II) Càrrega i descàrrega d'un condensador Mesura de la
|
Condensadors en paral·lel
Circuit format per dos condensadors i una resistència |
|
|
Considerem el problema de dos condensadors iguals. Inicialment uno d'ells està carregat amb una càrrega Q i l'altre descarregat. Es posen en contacte formant un circuit; en l'estat final, els dos condensadors queden carregats amb una càrrega Q/2 cadascun. Aquestàproblema, que a primera vista pareix trivial, té tanmateix molt d'interés perquè ens permet estudiar models cada vegada més elaborats que expliquen de forma més realista el procés de descàrrega d'un condensador i la càrrega de l'altre que està inicialment descarregat:
Condensadors en paral·lelEls condensadors es poden agrupar en sèrie o en paral·lel. El cas més important ocorre quan es connecten les plaque del mateix signe de dos condensadors de capacitats C1 i C2. Si inicialment el condensador C1 s'ha carregat amb una càrrega Q i es connecta al condensador, C2 inicialment descarregat, després de connectar-los les carregues passen d'un condensador a l'altre fins que s'igualen els potencials.
Les càrregues finals de cada condensador, q1 i q2, s'obtenen a partir de les equacions de conservació de la càrrega i de la igualtat de potencials dels condensadors després de la unió,
Aïllant q1 i q2 en el sistema de dues equacions,
L'energia inicial és l'emmagatzemada en forma de camp elèctric en el condensador de capacitat C1,
L'energia final és la suma de les energies emmagatzemades en els dos condensadors,
Com veiem, l'energia final Uf és menor que la inicial Ui. En la figura es mostra l'analogia hidràulica d'un sistema format per dos condensadors en paral·lel.
Exemple Suposem que tenim un condensador carregat a una diferència de potencial V; la càrrega que adquireix el condensador és Q0 = C·V. L'energia acumulada en el condensador és U0 = CV2/2.
Connectem aquestàcondensador a un altre idèntic, inicialment descarregat. Quan el circuit es tanca, la càrrega flueix del primer cap al segon, fins que la diferència de potencial dels dos condensadors és la mateixa. Com que la capacitat C dels dos condensadors també és la matexa, la càrrega final de cadascun dels condensadors serà la meitat de la càrrega inicial, Q1 = Q0/2, V1 =
V/2 L'energia acumulada pel sistema format pels dos condensadors és
L'energia final és la meitat de l'energia inicial. Sempre es perdrà la meitat de l'energia, independentment del valor de la resistència dels cables que uneixn els condensadors. Suposem dos dipòsits cilíndrics iguals connectats per un tub horitzontal de secció negligible, com s'indica en la figura; el primer té una massa m d'aigua i el segon està buit.
L'energia inicial de l'aigua és l'energia potencial del centre de masses de l'aigua, que està a una altura h de la base, U0 = mgh. Si s'obri la clau, l'aigua flueix del primer dipòsit al segon, fins que l'altura de l'aigua és la mateixa en els dos. Per tant, l'aigua es reparteix per igual entre els dos dipòsits. L'energia final serà
la meitat de l'energia inicial. Com hem vist, si no haguera cap resistència no hi hauria pèrdues, perquè l'energia potencial de l'aigua es transforma en energia cinètica de l'aigua que flueix, i viceversa. L'aigua passaria d'un dipòsit a l'altre, es produiria un moviment oscil·latori. El mateix ocorreria en un sistema de dos condensadors, la càrrega oscil·laría entre els dos condensadors. La resistència del tub que connecta els dos dipòsits al moviment de l'aigua és anàloga a la resistència dels cables que connecten els dos condensadors, el primero s'opose al flux de l'aigua, el segon al flux de càrrega. Després d'unes quantes oscil·lacions s'arriba a la situació final d'equilibri.
A la situació final no s'arriba, per tant, d'una vegada, sinó després d'un temps determinat, tant mes petit com major siga la resistència.
Circuit format per dos condensadors i una resistènciaConsiderem el circuit següent, format per dos condensadors de capacitats C1 i C2 i una resistència R. El condensador de capacitat C1 està carregat amb una càrrega Q i el condensador de capacitat C2 està inicialment descarregat. En l'instant t = 0 es tanca el circuit. El condensador de capacitat C1 es descarrega a través de la resistència R i carrega el condensador de capacitat C2. En un instant donat t tindrem que
Mesurem les diferències de potencial entre els punts a i b, b i c, c i a. Es complirà que Vab + Vbc + Vca = 0
L'equació del circuit serà
La càrrega q1 disminueix amb el temps i la càrrega q2 augmenta amb el temps, la intensitat i (càrrega per unitat de temps) valdrà
Derivem l'equació prèvia respecte del temps
Integrem l'equació diferencial amb la condició inicial següent: en l'instant t = 0, la intensitat i = i0. En l'instant inicial, t = 0, el condensador de capacitat C2 es troba descarregat, el condensador de capacitat C1 té una càrrega inicial Q. Per tant, Vca= 0 i l'equació del circuit s'escriu Vab+Vbc = 0, o bé, -Q/C1+ i0·R = 0. La solució de l'equació diferencial és
Calculem les càrregues de cada condensador en funció del temps amb les condicions inicials següents: en l'instant t = 0, la càrrega del condensador C1 és q1 = Q i la càrrega del condensador C2 és q2 = 0.
Com veiem, q1+ q2 = Q, la càrrega total en els condensadors és la càrrega inicial. Després d'un temps teòricament infinit s'estableix una situació d'equilibri en la qual les carregues finals dels condensadors seran
El mateix resultat que hem obtingut en l'apartat "Condensadors en paral·lel". Una altra forma d'obtenir l'estat final és la següent: Després d'un temps teòricament infinit la intensitat es fa zero. En l'quació del circuit posem Vbc = 0, i per tant Vab+ Vca= 0, o bé -q1/C1+ q2/C2 = 0. Per la conservació de la càrrega q1 + q2 = Q A partir d'aquestes dues equacions calculem q1 i q2 en la situació final d'equilibri, de la mateixa manera que en l'apartat "Condensadors en paral·lel". Estudi energètic
Com podem comprovar, part de l'energia inicial es dissipa en la resistència i l'altra part s'emmagatzema en els condensadors en forma de camp elèctric. Uf = Ui - UR
Condensadors ideals en sèrieSiguen dos condensadors de capacitats C1 i C2 disposats en sèrie.
Els dos condensadors tenen la mateixa càrrega q. La diferència de potencial entre a i c és Vac= Vab+ Vbc = q/C1+ q/C2 = q(1/C1+1/C2) L'agrupació de dos condensadors en sèrie és equivalent a un condensador de capacitat Ce
Aquesta és la situació ideal, en la qual se suposa que els condensadors no perden càrrega i les dues plaques del condensador estan perfectament aïllades l'una de l'altra. Això no és el que ocorre en la situació real.
Condensadors amb pèrdues, en sèrieUn condensador amb pèrdua de càrrega és equivalent a un condensador ideal de capacitat C que es descarrega a través d'una resistència R. Com ja hem estudiat en la pàgina anterior, la càrrega del condensador disminueix exponencialment amb el temps.
La resistència R no sol ser constante sinó que depén de la diferència de potencial V = q/C entre les plaques del condensador. Tanmateix, en el nostre estudi suposarem que la resistència R és constant. Hi ha condensadors que tenen constants de temps R·C de l'ordre de minuts. Tanmateix n'hi ha d'altres, com ara olis o plàstics especials, les constants de temps dels quals es mesuren en hores o en dies. Considerem ara la situació que es mostra en la figura, en la qual els condensadors tenen pèrdues. S'estableix una diferència de potencial V entre a i c. Estat inicial Inicialment les càrregues dels condensadors són iguals i les diferències de potencial entre les seues plaques són, respectivament, V1 = q/C1 i V2 = q/C2. Per tant, es compleix que
Com que V1+ V2 = V, tindrem que
El corrent comença a fluir a través de les resistències R1 i R2 i, en general, les càrregues en els condensadors seran diferents. Estat final Si la diferència de potencial entre els extrem a i c es manté constant s'arriba a un estat estacionari en el qual el mateix corrent i passa per les resistències R1 i R2. Es complirà aleshores que V1 = i·R1 i V2= i·R2. Per tant, tindrem la relació
Com que V1+ V2 = V, tindrem que
La càrrega final de cada condensador serà q1= V1·C1 i q2 = C2·V2, de manera que es compleix la relació
Evolució de l'estat inicial al final Suposem que als extrems a i c s'aplica una diferència de potencial constant V. El corrent total, i, que passa per a o que ix en b en l'instant t és la suma de dos termes:
com s'ha visto en estudiar el circuit format per dos condensadors i una resistència. De la mateixa manera, el corrent i que entra en b o que ix en c en l'instant t és la suma de dos termes:
Substituint V2 = V - V1 tenim una equació en V2
o bé
Integrem aquesta equació diferencial amb les condicions inicials següents: en l'instant t = 0 la diferència de potencial entre les plaques del condensador C2 és V02, com vam veure al principi d'aquest apartat, Integrant
el resultat final és
Comprovació En l'estat inicial, t = 0, tenim que
En l'estat final, t → ∞, tenim
Intensitat del corrent La intensitat del corrent i és igual a La intensitat és màxima en l'instant t = 0 i tendeix cap a un valor constant V0/(R1+R2) per a t→∞. Cas especial En el cas especial que C1R1 = C2R2 les diferències de potencial V1 i V2 són independents del temps, tot i que el corrent segueix fluint a través de cadascun dels condensadors:
Com que C1R1 = C2R2, les càrregues en els condensadors, q1 i q2, són iguals. Aquesta condició es pot complir si triem adequadament la constant dielèctrica k i la resistivitat ρ del dielèctric que es col·loca entre les plaques d'un condensador pla-paral·lel, les plaques del qual tenen una àrea A i estan separades una distància d:
El producte de les dues magnituds tan sols depén de la constant dielèctrica k i de la resistivitat ρ del dielèctric, RC = ρ kε0. Sempre que els dielèctrics que separen les plaques dels dos condensadors siguen tals que complisquen la relació ρ1k1 = ρ2k2 es complirà també que C1R1 = C2R2 Exemple 1
En l'instant inicial, t = 0, la relació V1/V2 = 2.50. Després d'un temps suficientment gran, t →∞, V1/V2 = 5.0 Exemple 2
Es compleix el cas especial: C1R1= C2R2. La relació V1/V2 = 5 en la situació inicial (t = 0) i en la final (t →∞). Tot i que la càrrega de cada condensador no canvia, la intensitat no és nul·la. Nota: En l'article esmentat en las referències s'obté la mateixa expressió de V2(t) suposant una situació més realista, que V passa de 0 al valor constant V0 en un temps molt curt.
on la constant de temps τ és molt petita en comparació amb les constants de temps del procés d'autodescàrrega dels dos condensadors, C1R1 o C2R2. ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botó Comença. Es representa, en la part esquerra de la miniaplicació (applet), V1/V2 en funció de t/T, on T és la constant de temps, T = R1R2(C1+C2)/(R1+R2). Dues línies horitzontals de color blau indiquen el valor inicial del quocient V1/V2 = C2/C1 en l'instante t = 0 i el valor final d'aquest quocient quan t →∞, V1/V2 → R1/R2. La font d'alimentació la representem mitjançant un dipòsit molt gran, l'altura de líquid del qual roman constant durant tota l'experiència". Els condensadors amb pèrdues els representem com a dipòsits de fluid que descarreguen a través d'un capil·lar.
Observem com va canviant l'altura de fluid en cadascun dels tubs capil·lars a mesura que transcorre el temps. Els punts de color roig representen la intensitat i del corrent (moviment dels portadors de càrrega positius) que va disminuint amb el temps fins que arriba al valor constant V/(R1+R2) quan t →∞. Nota: En aquesta pàgina no es demostra que el circuit elèctric i l'hidràulic representat en l'applet tinguen un comportament anàleg. El circuit hidràulic s'empra exclusivament com a imatge per a representar els canvis que ocorren en el circuit elèctric a mesura que transcorre el temps.
|
Condensadors amb pèrdues, en sèrie
French A, P. Are the Textbook Writers Wrong about Capacitors?. The Physics Teacher, Vol 31, March 1993, pàgs. 156-159.
Agrupació de
condensadors
