Electromagnetisme |
Condensadors Condensador Model elèctric d''un Condensador cilíndric Condensador amb Força sobre un dielèctric (I)
Càrrega i descàrrega d'un condensador Mesura de la Agrupació de condensadors |
 Força
sobre un dielèctric
|
|||
Força sobre un dielèctricUn troç de material dielèctric que s'apropa a una regió on hi ha un camp elèctric no uniforme experimenta una força d'atracció cap a la zona on el camp elèctric és més intens. Per a observar de forma directa la força sobre el dielèctric es dissenya l'“experiment” següent.
El portaobjectes de vidre té un gruix t = 1 mm, una altura a = 7.5 cm, una massa m = 4.37 g i una constant dielèctrica k = 5. El portaobjectes està subjecte per una corda llarga de manera que la distància entre el seu centre i el punt de suspensió és l = 1.34 m. En l'experiència real (vegeu l'article citat en les referències) la font subministra una diferència de potencial altern, degut a que amb corrent continu les superfícies del portaobjectes es polaritzen i s'enganxen immediatament a una o a una altra placa del condensador. Camp elèctric Suposarem que el camp elèctric en l'interior del condensador pla-paral·lel buit, E0 = V/d, és constant i perpendicular a les plaques i és negligible fora del condensador.
Quan el dielèctric s'ha introduït una distància x entre les plaques del condensador, el camp en la regió rectangular de dimensió a d'alt i x d'ample canvia.
En la figura es representa el camp elèctric en aquesta regió en funció de la distància z a una de les plaques. En l'interior del dielèctric el camp es redueix a E/k, (k és la constant dielèctrica del material) i fora del dielèctric el camp és E. La suma de les àrees dels dos rectangles és la diferència de potencial constant V, V = (E/k)·t + E·(d-t)
Energia electrostàtica Per a trobar l'energia electrostàtica dividim el volum del condensador en tres zones:
La regió d'àrea ax i gruix d està dividida en dues parts:
L'energia electrostàtica total U és la suma de les tres contribucions, U = U1 + U2 + U3. Força sobre el dielèctric Com que la diferència de potencial V es manté constant mentre s'introdueix el dielèctric en el condensador, la força sobre el portaobjectes és
Equilibri del portaobjectes
T·sinθ
= F El desplaçament x del portaobjectes és
Com que la distància entre el centre del portaobjectes i el punt de suspensió l és molt gran en comparació amb el desplaçament x del portaobjectes, l'angle θ és petit, sinθ ≈ tanθ
ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botó Connectar. S'observa el desplaçament x del portaobjectes cap a l'interior del condensador i es mesura en l'escala graduada en cm. Dades que es mantenen fixes en el programa interactiu:
Quan V = 2000 V,
l'angle θ de desviació de la corda de la seua posició inicial és
La desviació x és x = l·sinθ = 134·sin0.59º = 1.38 cm
|
Un oscil·lador elèctricSuposem un condensador pla-paral·lel carregat amb càrrega Q mitjançant una bateria i tot seguit se'n desconnecten les plaques. Les dimensions del condensador són a i b, i d és la separació entre les plaques.
La capacitat del condensador buit és
L'energia emmagatzemanda en el condensador és
Suposem que el dielèctric ha penetrat una longitud x < a en el condensador inicialment buit. Per a trobar la capacitat del condensador amb dielèctric podem considerar el condensador com l'agrupació de dos condensadors en paral·lel, un amb dielèctric de longitud x i l'altre en el buit, de longitud a-x. La capacitat total de l'agrupació és la suma de les capacitats de cadscun dels condensadors pla-paral·lels,
L'energia U del condensador és una funció de x,
L'energia disminueix a mesura que x augmenta. L'energia mínima s'obté quan tot el dielèctric ocupa l'espaci entre les plaques del condensador, x = a. Càrrega constantLa força s'obté derivant l'energia U mantenint la càrrega constant (el condensador no està connectat a la bateria),
La força actua en el sentit en el qual tendeix a disminuir l'energia U emmagatzemada en el sistema. En la taula es resumeixen els valors de la capacitat C, l'energia electrostàtica U i la força F sobre el dielèctric, per a diverses posicions x.
Com podem apreciar, la capacitat C és simàtrica respecte de x = a. El valor de la capacitat C, de l'energia electrostàtica U i el mòdul de la força F és el mateix per a x = a - δ, i per a x = a + δ. Com podem veure en les gràfiques (més amunt) de la capacitat i (més avall) de l'energia U i de la força F.
DiscussióEn la posició x = a l'energia potencial presenta un mínim. La derivada hauria de ser zero. Tanmateix, la força F en x = a no s'anul·la
Aquesta discrepància es deu a que l'energia potencial U és discontínua en x = a i, per tant, la funció energia potencial U no és diferenciable en aquest punt. En realitat, l'energia potencial U és contínua perquè en el nostre model simplificat no s'ha tingut en compte el camp elèctric que hi ha fora del condensador i la seua contribució a l'energia potencial elèctrica.
El càlcul que hem fet, tal i com es presenta en la majoria dels llibres de text, ignora l'origen físic de la força d'atracció sobre el dielèctric. Com pot atraure el camp elèctric d'un condensador al dielèctric, si el camp elèctric és perpendicular a les plaques i tan sols n'hi ha en la región situada entre les plaques, com es mostra en la figura de l'esquerra?
La força sobre el dielèctric és deguda al camp que hi ha fora del dielèctric. Així, considerem dues molècules del dielèctric, polaritzades pel camp quehi ha fora del condensador i disposades simètricament, com es mostra en la figura de la dreta. Les forces sobre cadascuna de les dues càrregues d'una molècula són tangents a la línia de força en el punt on estan situades les càrregues, i són oposades, pero no són completament colinials i, per tant, hi ha una força resultant sobre cada molècula, que representem per F1 i F2. La força neta sobre el parell de molècules, F1+F2, està dirigida cap a la dreta. La força sobre el dielèctric és la suma de les forces que fa el camp elèctric sobre tots els parells de molècules.
ActivitatsUna peça de material dielèctric és atreta cap a l'interior del condensador; la seua energia potencial elèctrica es converteix en energia cinètica. Arriba a la màxima velocitat quan ocupa tot l'espai entre les plaques i després comença a eixir, i la seua energia cinètica es converteix en potencial elèctrica, i així successivament. Tenim un oscil·lador, però no és un oscil·lador harmònic perquè no descriu un MHS: la força no és proporcional al desplaçament x. Triem una substància dielèctrica, d'una llista de substàncies:
Es pitja el botó Comença. S'observa el moviment de la peça dielèctrica entre les plaques del condensador. Es mostra mitjançant un vector la força sobre la peça i la seua energia potencial elèctrica per a cada posició x del dielèctric. Exemple En la part esquerra de la miniaplicació (applet) es mostra el condensador, connectat a un voltímetre. La càrrega Q no canvia, però en introducir-se el dielèctric la capacitat es modifica.
En el programa interactiu, la longitud del condensador s'ha fixat en a = 10, i Q/C0 = 1 (s'ha pres igual a la unitat). Per exemple, triant l'ambre com a substància dielèctrica, k = 2.8, i per a x = 2 el potencial val
Per a x = 20 - 2 = 18, el potencial V té el mateix valor que per a x = 2. El potencial és mínim, V = 0.36, per a x = 10. |
Potencial constantQuan el potencial es manté constant l'energia del condensador és
La raó per la qual s'incrementa l'energia és doble: 1. quan s'incrementa la capacitat, la càrrega també s'incrementa: la bateria fa un treball; 2. el dielèctric experimenta una polarització asdicional. Quan el dielèctric ix, part de l'energia emmagantzemada s'envia a la bateria i perd part de la càrrega que havia adquirit.
En els dos casos el dielèctric és empés cap a la regió que hi ha entre les plaques del condensador. La força F val
El signe positiu per a 0 < x < a i el negatiu per a a< x < 2a, com podem veure en la figura. La càrrega Q de les plaques del condensador canvia, augmenta quan s'introdueix el dielèctric en el condensador, i disminueix quan n'ix,
La càrrega del condensador és màxima, Q = k·C0·V, quan x = a: el dielèctric està completament introduït en el condensador, i és mínima quan x = 0, Q = C0V, el dielèctric està fora del condensador.
Fixem-nos en el signe de la intensitat i,
ActivitatsEn aquest cas el condensador no està aïllat sinó que està connectat a una bateria. La diferència de potencial entre les plaques V es manté constant, però canvia la càrrega Q de les plaques del condensador. A mesura que s'introdueix el dielèctric en el condensador l'energia electrostàtica U augmenta en lloc de disminuir. La bateria aporta l'energia neccesària que, després, recupera quan el dielèctric ix del condensador. Tenim un oscil·lador, però no és un oscil·lador harmònic perquè no descriu un MHS: la força no és proporcional al desplaçament x, és de mòdul constant però canvia de sentit.
Es pitja el botó Comença. Exemple En el programa interactiu, la longitud del condensador s'ha fixat en a = 10 i U0 = 1 (s'ha pres igual a la unitat). Per exemple, si triem l'ambre com a substància dielèctrica, k = 2.8, la força d'atracció F val F = (2.8 - 1)/10 = 0.18 Suposant que la massa de la peça dielèctrica és la unitat, m = 1, el temps que tarda en introducir-se completament en el condensador és 10 = 0.18·t2/2, t = 10.5 El temps que tarda en completar una oscil·lació és 4·t = 42.2 unitats de temps. |
Benenson R. E. Direct observation of the force on a dielectric. Am. J. Phys. 59 (8) August 1991, 763-764.
Carnero C., Carretero J. A study on the physical behaviour of a dielectric slab inserted into a parallel-plate capacitor. Eur. J. Phys. 17 (1996) 220-225.
Força sobre un
dielèctric (II)
