Electromagnetisme

Camp elèctric

La llei de Coulomb

El motor de Franklin

Camp i potencial
d'una càrrega puntual

Camp i potencial
de dues càrregues

Dipol elèctric

Línia de càrregues
Llei de Gauss

Model atòmic de
Kelvin-Thomson

La cubeta de Faraday
Conductors

Generador de
Van de Graaff

Conductors (II)

Càrrega induïda
en un conductor

Esfera conductora
en un camp uniforme

Un pèndol que
descarrega un
condensador

Mètode de les imatges

Càrrega induïda

Activitats

Referències

Una esfera conductora està situada en un camp elèctric uniforme; determineu la distribució de càrrega en la superfície del conductor.
La solució a aquest problema és molt más complexa que el procediment de les imatges que hem descrit en la pàgina anterior, per la qual cosa tan sols es donaran els resultats.

La llei de Gauss es pot expressar de forma diferencial o de forma integral. Quan s'expressa la llei de Gauss en forma diferencial en un espai en el qual la densitat de càrrega lliure és nul·la tenim l'equació de Laplace.

Camp elèctric

Es resol l'equació de Laplace en coordenades esfèriques amb les condicions de contorn següents:

•   V = 0, per a r = R, en la superfície de l'esfera;
•  V = - E₀x, quan x és gran i la influència del camp elèctric de l'esfera és negligible. (Recordeu que el potencial disminueix en la direcció del camp elèctric uniforme, E₀).

El camp elèctric total és la suma del camp elèctric uniforme més el camp produït per un dipol de moment dipolar p = 4·p e 0E 0R3, situat en el centre de l'esfera.

Les components del camp elèctric en coordenades polars són

Potencial

El potencial en un punt P de coordenades (r, q ) és

Com veiem compleix que quan r es fa gran el potencial V tendeix a –E₀r·cosq = - E₀x, i per a r = R el potencial és nul, V = 0.

Càrrega induïda

La densitat superficial de càrrega induïda en l'esfera conductora és el producte de e₀ pel valor de E_r per a r = R.

s =3e₀E₀·cosq

La càrrega neta induïda q en l'esfera conductora s'obté multiplicant la densitat de càrrega per l'element de superfície esfèrica comprés entre q i q +dq , sumant per a tots els angles compresos entre 0 i p,

La càrrega neta es nul·la, q = 0.

En la miniaplicació (applet) es mostren les línies de força i les equipotencials d'un camp elèctric uniforme paral·lel a l'eix X (horitzontal), i una esfera conductora connectada a terra.

S'introdueix:

•  el valor del camp elèctric E₀, en el control de selecció camp;
•  el radi R de l'esfera s'ha fixat en una unitat.

Es pitja el botón Nou.

Observem com es pertorba el camp quan s'introdueix una esfera conductora en l'espaci on hi ha un camp elèctric uniforme.

Pitjant en la casella càrrega induïda obtenim una imatge de la distribució de càrrega induïda, és a dir, de la variació de la densitat de càrrega s en funció de l'angle q. Els punts de color roig representen les càrregues positives i els blaus les càrregues negatives.

En aplicar un camp elèctric, els portadors de càrrega negativa de l'esfera conductora es mouen en el sentit contrari al camp, cap a l'esquerra, deixant la part dreta del conductor carregada positivament. Tenim d'aquesta manera un dipol, format per una distribució espacial i simètrica de dues càrregues iguals i oposades. La densitat de càrrega positiva es màxima per a q = 0 i la densitat de càrrega negativa es màxima per a q = p. La densitat de càrrega és nul·la per a q = p /2. Com veiem no hi ha línies de força que arriben o que isquen d'aquesta posició.