Electromagnetisme

Camp elèctrico

La llei de Coulomb

El motor de Franklin

Camp i potencial
d'una càrrega puntual

Camp i potencial
de dues càrregues

Dipol elèctric

Línia de càrregues
Llei de Gauss

Model atòmic de
Kelvin-Thomson

La cubeta de Faraday
Conductors

Generador de
Van de Graaff

Conductors (II)

Càrrega induïda
en un conductor

Esfera conductora
en un camp uniforme

Un pèndol que
descarrega
un condensador

Mètode de les
imatges

El mètode de les imatges

Càrrega induïda en un conductor esfèric

Activitats

Referències

El teorema de Gauss ens diu com és el camp elèctric en les proximitats d'un conductor quan coneixem la distribució de la càrrega en la seua superfície. La situació inversa és la de preguntar-nos com es distribueix la càrrega en un conductor quan sobre ell actua un determinat camp.

La càrrega imatge

Suposem un sistema format per una càrrega puntual Q en les proximitats d'una esfera conductora a potencial zero, i a una distància d del seu centre. El mètode de les imatges ens permet de substituir el conductor per una càrrega "imatge" q que anul·larà el potencial sobre la superfície esfèrica de radi R.

El potencial en el punt P₁ de la superfície esfèrica haurà de ser zero,

El potencial en el punt P₃ diametralment oposat haurà de ser zero,

Tenim un sistema de dues equacions amb dues incògnites de les quals aïllem q i b,

Podem demostrar, fent algunes operacions, que aquestos valors de q i b fan que el potencial en qualsevol punt P₂ de la superfície esfèrica siga també zero,

El potencial

Calculem el camp en qualsevol punt P exterior a l'esfera conductora. Primer calculem el potencial

Expressem r1 i r2 en coordenades polars en funció de la distància radial r del centre de l'esfera al punt P i de l'angle q, D'aquesta maneraV és una funció de r i q.

Component radial del camp

Per a trobar el vector camp E es calcula el gradient del potencial canviat de signe. El valor de la component radial del camp és

La càrrega induïda en el conductor esfèric

Segons hem esmentat el camp en les proximitats d'una superfície conductora és perpendicular a aquesta superfície; per tant, el camp en la superfície esfèrica conductora és radial. Calculem E_r per a r = R i tot seguit calculem la densitat superficial de càrrega induïda en l'esfera, tenint en compte que el camp en les proximitats de la superfície d'un conductor és E_r = s /e₀

Evidentement, si integrem aquesta densitat de càrrega sobre la superfície de l'esfera obtenim la càrrega total induïda q, La càrrega total induïda sobre l'esfera conductora és igual a la càrrega imatge que substitueix a l'esfera.

Aquest resultat és conseqüència de la llei de Gauss: si dibuixem una superfície tancada que incloga l'esfera i que n'estiga molt propera, el flux del camp elèctric a través d'aquesta superfície ha de ser el mateix, independentement de que la càrrega estiga distribuïda sobre l'esfera conductora o haja estat substituida per la càrrega puntual imatge situada en el seu interior.

Si ens donen una esfera de radi R amb una càrrega Q_s sobre ella, i si el seu centre es troba a una distància d > a de la càrrega puntual Q, podem substituir l'esfera per la càrrega imatge q = -Q·R/d, situada a una distància b = R²/d del centre, més una càrrega Q_s - q en el centre. La densitat superficial de càrrega  és, aleshores, σ + σ' on σ és la distribució no uniforme calculada anteriorment a partir de q i Q, i σ' és la distribució uniforme calculada a partir de (Q_s - q).

La miniaplicació (applet) mostra les línies de força i les superfícies equipotencials d'un sistema format per una càrrega puntual i una esfera conductora connectada a terra.

S'introdueix:

•  el valor de la càrrega puntual Q, en el control de selecció càrrega;
•  la distància d entre la càrrega puntual i el centre de l'esfera conductora, en el control d'edició Distància;
•  el radi R de l'esfera s'ha fixat en una unitat.

Es pitja el botó Nou.

L'esfera conductora a potencial zero se substitueix per una càrrega imatge que apareix com un petit cercle de color blau. Observeu que la càrrega imatge és negativa (color blau) si la càrrega puntual és positiva (color roig). La càrrega imatge disminueix en augmentar la separació d i augmenta amb la càrrega puntual Q.

Observeu que les línies de força que arriben al conductor esfèric són perpendiculars a la seua superfície.

S'han traçat les línies equipotencials a l'esquerra de l'applet separades 0.1 unitats. Tanmateix, les línies equipotencials de la dreta de la miniaplicació s'han traçat separades 0.01 unitats arbitràries.

Activant la casella titulada càrrega induïda desapareix la càrrega imatge i apareix una distribució de càrrega sobre la superfície de l'esfera conductora, en forma de petits punts de color blau que pretenen donar-nos una idea de la dependència de la densitat de càrrega s amb l'angle q.

Podem observar que la densitat de càrrega és major en la part de l'esfera que està més a prop de la càrrega puntual positiva i és petita en la part oposada, més allunyada.

Podem calcular la força d'atracció entre la càrrega puntual positiva i l'esfera conductora aplicant la llei de Coulomb a la càrrega puntual Q i a la càrrega imatge q, separades una distància d - b.