Electromagnetisme

Condensadors

Condensador
pla-paral·lel

Model elèctric
d'un cicle de Carnot

Condensador cilíndric

Condensador
amb un dielèctric

Força sobre un 
dielèctric (I)

Força sobre un 
dielèctric (II)

Càrrega i descàrrega
  d'un condensador

Mesura de la
velocitat d'una bala

Agrupació de
condensadors

Descàrrega d'un condensador

Càrrega i descàrrega d'un condensador

Càrrega d'un condensador

Considereu el circuit en sèrie de la figura. Inicialment el condensador està descarregat. Si es tanca l'interruptor I la càrrega comença a fluir i produeix corrent en el circuit; el condensador es comença a carregar. Una vegada el condensador adquireix la càrrega màxima, el corrent en el circuit cessa.

En el circuit de la figura tindrem que la suma de ddp s'anul.la:

V_ab + V_bc + V_ca = 0

L'extrem a tendeix a un potencial major que l'extrem b de la resistència R, perquè el corrent flueix de a a b. D'acord amb la llei d'Ohm, V ab= i·R  La placa positiva del condensador b té potencial major que la placa negativa c, de manera que V bc= q/C.  El terminal positiu de la batería a té potencial major que el terminal negatiu c, de manera que Vca = -Ve , on Ve és la fem de la bateria.

L'equació del circuit és

i·R + q/C - V_e = 0

Tenint en compte que la intensitat es defineix com la càrrega que travessa la secció del circuit en la unitat de temps, i = dq/dt, tindrem l'equació següent per a integrar

Derivant respecte al temps obtenim la intensitat en funció del temps

La càrrega tendeix cap a un valor màxim C·V_e al cap de cert temps, teòricament infinit.

La intensitat disminueix exponencialment amb el temps fins que es fa zero quan el condensador adquireix la càrrega màxima.

La quantitat RC que apareix en el denominador de t s'anomena constant de temps del circuit, i representa el temps que trigarà el corrent per a decrèixer fins a 1/e del seu valor inicial.

Un tub-capil·lar alimentat per un flux constant produït per un flascó de Mariotte és l'analogia hidràulica del procés de càrrega d'un condensador.

Balanç energètic

•  L'energia aportada per la bateria fins l'instant t és

•  L'energia dissipada en la resistència fins l'instant t és

•  L'energia emmagatzemada en el condensador en forma de camp elèctric és

Comprovem que E_b = E_R + E_C. Part de l'energia subministrada en la bateria es dissipa en la resistència i l'altra part s'acumula en el condensador.

Quan es completa el procés de càrrega t → ∞, la meitat de l'energia subministrada per la batería es dissipa en la resistència i l'altra meitat s'acumula en el condensador.

Exemple

Siga un condensador de capacitat C = 1.5 mF en sèrie amb una resistència de R = 58 kW i una bateria de V_є = 30 V. Comencem a comptar el temps quan es tanca l'interruptor. En l'instant t = 60 ms,

•  la càrrega del condensador és

•  la intensitat és

•  l'energia subministrada per la batería és

•  l'energia dissipada en la resistència és

•  l'energia acumulada en el condensador és

quan es completa el procés de càrrega, t → ∞;

•  la càrrega del condensador és

q=CV_є=1.5·10^-6·30=45μC

•  l'energia subministrada per la batería és

E_b = 13.5·10^-4 J

•  l'energia acumulada en el condensador és

E_c = 6.75·10^-4 J

•  l'energia total dissipada en la resistència és

E_R = 6.75·10^-4 J

Activitats

S'introdueix:

•  la capacitat C del condensador, actuant sobre la barra de desplaçament Condensador;
•  la resistència R, actuant sobre la barra de desplaçament Resistència;
•  la fem V_e de la bateria està fixada en el valor 10.

Es pitja el botó Comença.

S'observa la càrrega del condensador; el seu color passa gradualment de blanc (sense càrrega) a roig (càrrega positiva) i blau (càrrega negativa). A la dreta de la miniaplicació (applet) es traça la gràfica de la càrrega q i de la intensitat i en funció del temps.

Observeu...

•  que la càrrega màxima no depén de la resistència R,
•  que la intensitat màxima no depén de la capacitat C.

Trieu dos valors de la resistència R₁ i R₂ i dos valors de la capacitat C₁ i C₂ de manera que R₁·C₁ = R₂·C₂.

Considerem ara el circuit que consta d'un condensador, inicialment carregat amb càrrega Q, i una resistència R, i es tanca l'interruptor I.

L'equació del circuit serà la següent:

V_ab + V_ba = 0

Com que el corrent va de a a b, el potencial de a és més alt que el potencial de b. Per la llei d'Ohm, Vab = i·R.  En el condensador, la placa positiva a té més potencial que la negativa b, de manera que Vba = -q/C.

L'equació del circuit és

i·R - q/C = 0

Com que la càrrega disminueix amb el temps, i = -dq/dt. L'equació a integrar és

La càrrega del condensador disminueix exponencialment amb el temps. Derivant respecte del temps obtenim la intensitat, que va en el sentit indicat en la figura,

i que també disminueix exponencialment amb el temps.

La descàrrega tubo-capil·lar és l'analogía hidràulica de la descàrrega del condensador.

Balanç energètic

•  L'energia inicial del condensador és

•  L'energia dissipada en la resistència fins a l'instant t és

•  L'energia emmagatzemada en el condensador en forma de camp elèctric en l'instant t és

Comprovem que E_c = E₀ - E_R. L'energia en el condensador es dissipa en la resistència. Quan es completa el procés de descàrrega, t → ∞, tota l'energia emmagatzemada en el condensador s'ha dissipat en la resistència.

Exemple 

Siga un condensador de capacitat C = 1.5 mF, en sèrie amb una resistència de R = 58 kW, carregat inicialment amb Q = 45μC. Comencem a comptar el temps quan es tanca l'interruptor. En l'instant t = 60 ms,

•  la càrrega del condensador és

•  la intensitat és

•  l'energia emmagatzemada inicialment en el condensador és

•  l'energia dissipada en la resistència és

•  l'energia acumulada en el condensador és

Activitats

S'introdueix:

•  la capacitat C del condensador, actuant sobre la barra de desplaçament Condensador;
•  la resistència R, actuant sobre la barra de desplaçament Resistència;
•  la càrrega inicial Q del condensador s'ha fixat en el programa.

Es pitja el botó Comença.

S'observa la descàrrega del condensador; el seu color passa gradualment de roig (càrrega positiva) i blau (càrrega negativa) a blanc (descarregat). A la dreta de la miniaplicació (applet) es traça la gràfica de la càrrega q i de la intensitat i en funció del temps.

Trieu dos valors de la resistència R₁ i R₂ i dos valors de la capacitat C₁ i C₂ de manera que R₁·C₁ = R₂·C₂. Observeu com decreix la càrrega i la intensitat.

Càrrega i descàrrega d'un condensador

Quan el circuit RC es connecta a un generador de senyals quadrats podem observar en un oscil·loscopi el procés de càrrega i de descàrrega.

Com es veu en la figura, durant el primer semiperíode del senyal la fem té un valor constant i igual a V₀. El condensador es carrega durant un temps P/2.

La càrrega q₁ final del condensador en l'instant t = P/2 es calcula a partir de la fórmula

En l'instant t = P/2 la fem es fa zero, el condensador es descarrega. La càrrega del condensador q₂ en l'instant t = P es calcula a partir de la fórmula,

En el procés següent de càrrega la integració no és entre els límits 0 i q, sinó entre la càrrega remanent q₂ i q,

Calculem la càrrega final q₃ en l'instant t = P + P/2, i així successivament.

Podemos observar la càrrega i la descàrrega del condensador si introduïm un senyal quadrat en el circuit RC i fem arribar el senyal resultant a un oscil·loscopi.

S'introdueixen les dades següents:

•  la resistència R, en W
•  la capacitat C, en mF (10^-6 F)
•  la fem V_e, en V

•  la freqüència f del senyal quadrat, en Hz. El període P és l'invers de la freqüència, P = 1/f. Per exemple, si la freqüència és 2000 Hz, el període és 0.0005 s o 0.5 ms (milisegons).

Es pitja el botó Gràfica.