Electromagnetisme

Autoinducció i 
Inducció mútua

Autoinducció
Circuit R-L

Circuits acoblats (I)

Circuits acoblats (II)

Oscil·lacions elèctriques

El problema dels dos
condensadors

Elements d'un
circuit de C.A.

Mesura de l'auto-
inducció d'un anell

Circuit LCR en sèrie
Ressonància

Mesura de la velocitat
de la llum en el buit

Efectes mecànics de
la llei de Faraday

L'anell de Thomson (I)

L'anell de Thomson (II)

Força sobre l'anell

L'anell com a circuit R-L connectat a una fem alterna

Força mitjana sobre l'anell en l'estat estacionari

Activitats

Experiments. Representació gràfica

Referències

Es connecta un solenoide provist d'un nucli de ferro a una font de corrent altern de freqüència f = 50 Hz i s'observa que l'anell de radi a sura en l'aire a una altura z d'equilibri, aquella a la qual s'anul·la el pes de l'anell amb la força mitjana que fa el camp magnètic del solenoide sobre el corrent induït en l'anell. En aquesta pàgina no es va a estudiar la dinàmica de l'anell, com puja impulsat per la força magnètica, fins i tot a altures considerables si l'anell es refreda prèviament en nitrogen líquid. Calcularem la força que fa el camp magnètic sobre l'anell quan està quiet a una altura determinada sobre el solenoide.

Aquesta força es pot mesurar amb un dinamòmetre; també es pot donem la volta al dispositiu i recolzar l'anell sobre una balança electrònica, que mesurà la suma del seu pes més la força que fa el camp magnètic, veieu els articles citats en les referències.

Llei de Faraday

El corrent altern que circula pel solenoide produeix un camp magnètic que varia amb el temps. El flux F d'aquest camp a través de l'anell és

F = M·I_s

on M és el coeficient d'inducció mútua del sistema format pel solenoide i l'anell, I_s és la intensitat del corrent en el solenoide, que varia amb el temps de la forma

I_s = I_0s·sin(w t)

on I_0s és l'amplitud i w la freqüència angular w = 2p f . En Europa, f = 50 Hz, i en els Estats Units i altres països, f = 60 Hz.

Fixat el solenoide, el coeficient d'inducció mútua, M, és una funció del radi de l'anell, a, i de la seua posició, z, sobre el solenoide.

Aplicant la llei de Faraday s'obté la fem induïdaV_a en l'anell com a resultat del canvi del flux que el travessa amb el temps. Aplicant la llei de Lenz es determina el sentit del corrent induït,

El corrent induït I_a en l'anell de resistència R és

Força sobre l'anell

Com podem observar en la miniaplicació (applet) que dibuixa les línies del camp magnètic produït per un solenoide, el camp magnètic és paral·lel a l'eix en l'interior del solenoide, però fora del solenoide les línies de camp divergeixen tal com s'observa en la figura. El camp magnètic del solenoide té simetria cilíndrica, i en la posició z que ocupa l'anell de radi a el camp té dues components, una al llarg de l'eix Z, Bz, i l'atra al llargo de la direcció radial Br.

La força magnética sobre l'anell és

En la figura veiem que la força sobre un element de corrent dl té dues components:

1. una al llarg de l'eix Z, dF_z = -I_a·B_r·dl, (el corrent és positiu quan circula en el sentit contrari a les agulles del rellotge, l'oposat al que es mostra en la figura),
2. l'altra al llarg de la direcció radial, dF_r = -I_a·B_z·dl.

Les components radials de la força s'anul·len de dues en dues mentre que les components al llarg de l'eix Z se sumen. La força resultant que fa el camp magnètic B produït pel solenoide sobre el corrent induït I_a en l'anell té la direcció de l'eix Z i el seu mòdul val

Com que B_r és proporcional al corrent en el solenoide I_s és a dir a sin(w t), i el corrent induït en l'anell I_a és proporcional a cos(w t), la força sobre l'anell és proporcional a sin(w t)·cos(w t), o bé, F_z = c·sin(2w t), on c és una constant de proporcionalitat.

El valor mitjà en el temps <F_z> de la força sobre l'anell serà, per tant, zero,

Durant mig període, P = p /w,  la força és atractiva i durant l'altre mig període la força és repulsiva. La força neta sobre l'anell és el seu propi pes, per la qual cosa no és possible que l'anell s'eleve, tot i que l'experiencia ens indique que sí que ho fa.

Per tant, l'aplicació directa de la llei de Faraday és la condició necessària però no suficient per a explicar el fenomen de la levitació magnètica de l'anell.

L'anell com a circuit R-L connectat a una fem alterna

Per tal que la força repulsiva siga major que la força atractiva ha d'existir un desfasament entre el corrent induït en l'anell i la fem en l'anell.

Suposem que l'anell és un circuit R-L en sèrie connectat a una fem alterna de la forma V_a = -V_0a cos(w t).

• La diferència de potencial en els extrems de l'autoinducció L està avançada 90º respecte de la intensitat que hi circula. La relació d'amplituds és V_L= I₀·w L.
• La diferència de potencial entre els extremos de la resistència R està en fase amb la intensitat. La relació d'amplituds és V_R= I₀·R.

Com veiem en la figura, la fem V_a està avançada un angle f  respecte de la intensitat I_a

Les expressions de la fem i de la intensitat del corrent induït en l'anell en funció del temps són, respectivament,

Com que V_0a= M·I_0s·ω  el corrent estacionari I_a induït en l'anell és

La força sobre l'anell s'obté multiplicant el camp magnètic B_r, proporcional a sin(w t), pel corrent en l'anell, proporcional a –cos(w t-f).

El valor mitjà de la funció f(t)=-sin(w t)·cos(w t-f) és

• El primer terme, sin(w t)·cos(w t), ve de la part del corrent en l'anell que està en fase amb la fem i, per tant, desfasada 90º amb el corrent en el solenoide. Produeix una força que oscil·la amb una freqüència 2w i, per tant, el seu promig en el temps és zero, com hem demostrat en l'apartat anterior.
• El segon terme, sin(w t)·sin(w t), prove de la parte inductiva del corrent, que té un desfasament de 90º respecte de la fem i està en fase amb el corrent en el solenoide; és la que produeix la força d'elevació sobre l'anell.

Així doncs, per tal que la força sobre l'anell tinga un valor mitjà no nul ha d'existir un desfasament f entre la fem en l'anell i el corrent induït en l'anell, i aquest desfasament es produeix si considerem que l'anell té una autoinducció L no nul·la.

Exemple

En el laboratori disposem d'un anell d'alumini de 62 mm de diàmetre, 15 mm de longitud i 1 mm de gruix. La resistència de l'anell es calcula mitjançant la fórmula

Per a l'anell d'alumini de les dimensions assenyalades, r = 2.8·10-8 W ·m, S = (1 mm· 15 mm) = 15·10-6 m2, i l = p ·62 mm = p ·62·10-3 m. R = 3.63·10-4 W.

Hi ha una fórmula que ens permet calcular l'autoinducció L d'un anell de forma toroïdal de diàmetre mitjà D, i la secció del qual és un cercle de diàmetre d,

L'àrea de la secció rectangular de l'anell és equivalent a l'àrea de la secció circular d'un anell toroïdal de diàmetre d tal que 15·1 = πd2/4,    d = 4.37 mm.

Per a una fem de freqüència f = 50 Hz, ω = 2πf = 100π rad/s, el desfasament és

El valor mitjà de la força <F_z> sobre l'anell és proporcional a -(sinf)/2 = -0.05.

Activitats

S'introdueix:

• El desfasament f de la intensitat i de la fem induïda en l'anell, en graus.

Es pitja el botó Dibuixa.

En la miniaplicació (applet) es representen tres gràfiques:

1. En la part superior es representa el camp magnètic B_r en funció del temps. B_r és proporcional al corrent en el solenoide I_s, és a dir, a sin(w t).

2. En la part mitjana es representa la fem V_a, que és proporcional a –cos(w t), i el corrent I_a en l'anell, desfasada f  respecte de la fem.

3. En la part inferior de la miniaplicació (applet) es representa el producte del camp magnètic B_r, proporcional a sin(w t), pel corrent en l'anell, proporcional a –cos(w t-f), i es calcula el valor mitjà de la força <F_z>, que és proporcional a -(sinf)/2.

Corrent induït en l'anell. Equació del circuit

En aquest apartat obtindrem de forma alternativa la intensitat I_a del corrent induït en l'anell.

Considerant de nou l'anell com un circuit format per una resistència i una autoinducció, i connectat a una fem alterna, l'equació del circuit s'escriurà com que la suma de fems és igual a la intensitat per la resistència,

La solució d'aquesta equació diferencial té la forma següent

Els dos primers termes corresponen a la solució particular i el tercer terme a la solució homogènia de l'equació diferencial. El terme C es troba a partir de les condicions inicials, però no és necessari calcular-lo ja que al cap de molt poc de temps l'exponencial tendeix a zero, en ser R >>L. En l'estat estacionari tan sols ens queda la solució particular, I_a= A·cos(w t) + B·sin(w t). Si introduïm l'expressió de I_a en l'equació diferencial obtenim els valors de A i B.

Força mitjana sobre l'anell en l¡estat estacionari

Com ja s'ha explicat, la força sobre l'anell ve donada per la fórmula F_z = -2p·a·I_a·B_r.

El camp magnètic produït pel solenoide en la posició z que ocupa l'anell de radia és proporcional al corrent I_s que circula per l'anell,

B_r = k(z)·I_s.

Fixat el solenoide, el coeficient d'inducció mútua M de l'anell de radi a és funció de la posició z de l'anell sobre el solenoide,

Analitzem la dependència de la força mitjana amb la intensitat que circula pel solenoide, la freqüència i la distància entre l'anell i el solenoide.

• Força mitjana <F_z> en funció de la intensitat que circula pel solenoide, I_s.

El valor mitjà de la força és proporcional al quadrat de l'amplitud de la intensitat que circula pel solenoide I0s.

• Força mitjana <F_z> en funció de la freqüència w del corrent que circula pel solenoide I_s.

Per a analitzar el seu comportament en funció de la freqüència w, ens fixarem en el terme entre parèntesi,

Quan la freqüència del corrent en el solenoide és petita en comparació amb R/L, la força <Fz> sobre l'anell és proporcional al quadrat de la freqüència w, i inversament proporcional al quadrat de la resistència R. Quan la freqüència w és molt més gran que R/L, la força <Fz> sobre l'anell tendeix cap a un valor constant i independent de la resistència de l'anell.

• Força mitjana <F_z> en funció de la freqüència i de la distància z entre el solenoide i l'anell.

La força mitjana<Fz> disminueix ràpidament amb la distància z entre el solenoide i l'anell.

Activitats

En el programa interactiu d'aquesta pàgina s'ha substituït el solenoide per una bobina, ja que és més senzill de calcular el camp magnètic creat per una bobina que per un solenoide. El resultat final de l'"experiment" no canvia des del punt de vista qualitatiu.

Es calcula la força que fa una bobina de 100 voltes sobre un anell situat a una altura regulable z. Per a modificar la distància z cal arrossegar amb el ratolí la fletxa horitzontal de color blau situada en la vora esquerra de la miniaplicació (applet).

S'introdueix:

• La freqüència f del corrent que circula per la bobina, en el control d'edició Freqüència.
• L'amplitud de la intensitat I_s0 que circula per la bobina, en el control d'edició Intensitat.
• La resistència R de l'anell (en unitats 10^-4 Ω), en el control d'edició Resistència.
• L'autoinducció L de l'anell (en unitats 10^-7 H), en el control d'edició Autoinducció.

Es pitja el botó Inici per a establir l'estat inicial i, tot seguit, el botó Comença per a iniciar l'animació.

A partir de les dimensions de l'anell i del material del qual està fet podríem calcular-ne la resistència i l'autoinducció. Tanmateix, en el programa interactiu introduïm directament aquestes dues magnituds per a poder assajar totes les possibilitats: un anell amb o sense resistència, amb o sense autoinducció.

El programa calcula i representa la intensitat del corrent induït en l'anell i la força sobre l'anell. Permet, per tant, examinar la força magnètica sobre l'anell canviant els diferents paràmetres.

El programa permet visualitzar el moviment de les càrregues (en color roig) en el solenoide i en l'anell, i ens dóna una idea del sentit del corrent induït.

En la parte dreta es representa el corrent en el solenoide (en color blau), en l'anell (en color roig), i la força sobre l'anell (en color negre), en funció del temps. Desactivant la casella Intensitats tan sols es representa la força sobre l'anell.

Com que la intensitat del corrent induït en l'anell i la força canvien notablement a mesura que es modifica algun dels paràmetres, es proporciona el control de selecció Escales per a modificar l'escala vertical de la representació gràfica.

Experiments. Representació gràfica

1. Força sobre l'anell en funció de l'amplitud de la intensitat I_0s del corrent en el solenoide.

Podem comprovar que la força sobre l'anell és proporcional al quadrat de la intensitat del corrent que circula en el solenoide.

2. Força en funció de la freqüència f del corrent que circula en el solenoide.

La freqüència amb la qual es fa l'experiment de laboratorio és de 50 Hz, el programa permet variar la freqüència en un rang ampli de 10 a 150 Hz. Podrem observar que la força creix ràpidament amb la freqüència i tendeix cap a un valor constant quan la freqüència es fa gran.

3. La força en funció de la distància z entre l'anell i l'extremo superior del solenoide.

La inducció mútua M disminueix ràpidament quan s'incrementa z, la distància entre el solenoide i l'anell. La component radial del camp magnètic produït pel solenoide B_r també disminueix amb z. Com que no podem proporcionar expressions simples per a la dependència d'aquestes dues magnituds amb z, el resultat final com podrà comprovar el lector és que la força <F_z> disminueix ràpidament a mesura que s'incrementa z.

La miniaplicació (applet) que ve tot seguit ens permet representar els resultats de cadascuna de les experiències i observar la dependència funcional de la força mitjana sobre l'anell amb els tres paràmetres que hem esmentat:

• Intensitat del corrent en el solenoide, I_s0.
• Freqüència f del corrent altern, w = 2p·f.
• Distància z entre l'anell i el solenoide.

Per exemple, si volem examinar la dependència de la força <F_z> amb la distància z entre la bobina i l'anell, s'activa el botó de radi Distància. S'introdueixen en els controls d'edició del costat esquerre, sota l'etiqueta X, les distàncies z, i en els controls d'edició situats en el costat dret el valor de <F_z> proporcionat pel programa interactiu previ.

Finalment, es pitja el botó gràfica.

S'obtindran representacions gràfiques semblants a les de les figures de l'apartat corrent induït en l'anell.