Electromagnetisme |
Autoinducció i Inducció mútua Autoinducció. circuit R-L Circuits acoblats (I) Circuits acoblats (II) Oscil·lacions El problema dels dos condensadors Elements d'un circuit de C.A. Mesura de l'auto- inducció d'un anell Circuit LCR en sèrie Ressonància Mesura de la velocitat de la llum en el buit Efectes mecànics de la llei de Faraday
L'anell de Thomson (II) |
Coeficient d'inducció mútua | |||||||||||||||||||||||||
|
En la pàgina anterior vam descriure l'origen de la força
sobre l'anell però no es vam calcular aquesta força. En
aquesta pàgina explicarem com es pot mesurar el coeficient d'inducció
mútua M que precisem per a calcular el corrent Ia
en l'anell, i la component radial del camp magnètic Br
produït per la bobina; els dos factors intervenen en la força
Fz que fa el camp sobre el corrent induït en l'anell. Coeficient d'inducció mútuaJa hem vist com es pot calcular el coeficient d'inducció mútua entre dos circuits. Ara emprarem la fórmula alternativa,
on dl1 és un element del primer circuit, dl2 és un element del segon circuit i r és la distància entre els dos elements (vegeu,per exemple, Lorrain P., Corson D. R., Campos y Ondas Electromagnéticas, Selecciones Científicas, pàgs. 366-367).
Com veiem en la figura, l'element de corrent és un arc infinitesimal de circumferència (l'arc és igual al radi per l'angle comprés) dl1 = r1·dq1 i dl2 = r2·dq2 Les components dels vectors dl1 i dl2 són dl1=
r1·dq1(-sinq1
i + cosq1
j) El vector r té l'origen al punt A (r1·cosq1, r1·senq1, 0) i l'extrem al punt B (r2·cosq2, r2·senq2, z), r = (r2·cosq2 - r1·cosq1) i + (r2·sinq2 - r1·sinq1) j + z k El seu mòdul, o la distància r entre els elements de corrent, és
Hem de calcular la integral doble
Si el circuit primari consta de N1 espires iguals apretades i el circuit secundari consta d'una sola espira, el coeficient d'inducció mútua és
Componente radial del campLa component radial del camp Br produït per la bobina en la posició (y, z) és
Si la bobina consta de N1 espiras apretadas, la component radial del camp Br en la posició que ocupa l'anell (r2, z) val
El valor del camp Br es pot calcular també de forma indirecta: La llei de Gauss aplicada al camp magnètic afirma que el flux del camp magnètic a través d'una superfície tancada és nul, ja que no hi ha càrregues magnètiques aïllades, anàlogues a les elèctriques.
El flux total serà Ф(z+dz)-Ф(z)+Br·2pydz-=0
Com que Ф(z+dz) = (Bz+dz)·πy2 i Ф(z) = Bz·πy2
expressió que ens dóna la relació entre les components radial Br i vertical Bz del camp magnètic produït per la bobina. L'objetiu d'aquesta secció és obtenir una expressió aproximada del coeficient d'inducció mútua M entre la bobina i l'espira, en funció de l'altura z de l'anell. Una vegada obtingut M podem calcular el valor aproximat de la component radial Br del camp magnètic en la posició (r2, z) que ocupa l'anell.
on I1 és el corrent que circula per la bobina.
Mesura del coeficient d'inducció mútuaPer a mesurar el flux Ф(z) del camp magnètic produït per la bobina que travessa l'anell, o el coeficient d'inducció mútua M = Ф(z)/I1 a distintes altures z, dissenyem l'experiment següent. Mesurem l'amplitud de la fem V02 produïda en una bobina exploradora de N2 espires del mateix radi que l'anell. Si per la bobina circula un corrent d'amplitud I01 i de freqüència angular ω,
ActivitatsS'introdueix:
Es pitja el botó Inici.
Es pitja el botó Comença. Es mesura l'amplitud de la fem produïda en la bobina exploradora (part superior de la miniaplicació o applet) i es determina el coeficient d'inducció mútua. Exemple Per a z = 5 cm, V02 = 72.59·10-6 V
Els parells de dades:
es guarden en el control àrea de text situat a l'esquerra de la miniaplicació (applet). Per a cada radi de l'anell s'obté una taula de valors com la següent:
Es pitja el botó Gràfica. El programa interactiu calcula pel procediment de regressió exponencial la funció M = a·exp(bz) que millor s'ajusta a les dades “experimentals”. Calen com a mínim tres parells de dades.
En aquest cas és la funció M = 1.582·exp(-37.10·z) on z està en m i M en 10-6 H. El seu valor per a z = 0.05 és M = 0.2475·10-6 H. El valor del camp radial Br en la posició z = 5 cm és
La intensitat del corrent en l'anell en l'estat estacionari és
Suposem que R = 3.6·10-4 Ω, L= 6.5·10-7 H, ω = 2π·50 rad/s i I01=10 A. I2= -1.634·cos(2π·50·t) - 0.927·sin(2π·50·t) La força sobre l'anell és Fz
= -2π·r2·I2·Br
= 2π·0.015·(1.634·cos(2π·50·t)
+ 0.927·sin(2π·50·t))·
97.43·10-6·10·sin(2π·50·t)
= Tenint en compte que el valor mitjà de <sin(ωt)·cos(ωt)> = 0 i el valor mitjà de <sin2(ωt)> = 1/2, la força mitjana val <Fz> = 4.255·10-5 N = 0.043 mN. |
||||||||||||||||||||||||||
Arrossegueu amb el punter del ratolí la fletxa de color blau
L'anell de Thomson (I)
