Electromagnetisme |
Autoinducció i Inducció mutua Autoinducció. Circuit R-L Circuits acoblats (I) Circuits acoblats (II) Oscil·lacions El problema dels dos condensadors Elements d'un circuit de C.A. Mesura de l'auto- inducció d'un anillo Circuit LCR en sèrie Ressonància Mesura de la velocitat Efectes mecànics de la llei de Faraday L'anell de Thomson (I)
|
El circuit RC de càrrega
Equació del moviment de l'anell |
||||||||
| En les pàgines anteriors hem estudiat la força que fa el camp magnètic produït per un solenoide sobre el corrent induït en l'anell quan aquest està a una altura fixa sobre el solenoide. En aquesta pàgina estudiarem la dinàmica de l'anell, com ascendeix impulsat per una força magnètica intensa que dura molt poc de temps.
El circuit RC de càrrega
El circuit RCL de descàrrega
Si el circuit té un comportament esmortit, g < w0, la càrrega en el condensador disminueix amb el temps de la forma
Les constants A i j es calculen a partir de les condicions inicials. En l'instant t = 0 el condensador es troba carregat amb una càrrega Q, o bé la diferència de potencial entre les seues plaques és V = Q/C, i la intensitat que circula pel circuit és zero, Is = dq/dt = 0. Les expressions de la càrrega del condensador i de la intensitat que circula pel solenoide són, respectivament,
En la figura podem observar la representació de la intensitat Is en funció del temps quan la resistència del circuit és petita (g << w0) i quan és gran (g < w0). En la figura de l'esquerra apreciem que l'amplitud de la intensitat decreix exponencialment amb el temps, característica principal de les oscil·lacions esmortides. En la de la dreta veiem que la intensitat creix (decreix) des de zero fins un valor màxim (mínim) en l'instant t = p /(2w) i després decreix (creix) fins que es fa pròxima a zero.
Llei de FaradayEl corrent que circula pel solenoide produeix un camp magnètic que varia amb el temps. El flux F d'aquest camp a través de l'anell és F = M·Is on M és el coeficient d'inducció mútua del sistema format pel solenoide i per l'anell, Is és la intensitat del corrent en el solenoide. Aplicant la llei de Faraday s'obté la fem induïdaVa en l'anell com a resultat del canvi amb el temps del flux que el travessa. Aplicant la llei de Lenz es determina el sentit del corrent induït,
El corrent induït Ia en l'anell de resistència Ra és
Ens fixarem principalment en el comportament exponencial decreixent de l'amplitud de la intensitat Is. Podem escriure la intensitat en l'anell com Ia = -k·I0s·exp(-g t) on k és una constant de proporcionalitat que depén també del temps.
Força magnètica sobre l'anell
La força sobre l'anell és
En la figura veiem que la força sobre un element de corrent dl té dues components:
Les components radials s'anul·len de dues en dues mentre que les components al llarg de l'eix Z se sumen. La força resultant que fa el camp magnètic B produït pel solenoide sobre el corrent induït Ia en l'anell té la direcció de l'eix Z i el seu mòdul val Fz = -2p a·Ia·Br. El camp Br és proporcional al corrent que circula pel solenoide (l'amplitud del qual decreix exponencialment amb el temps). Per l'altra part, l'amplitud del corrent induït Ia decreix exponencialment amb el temps. L'amplitud de la força sobre l'espira també decreix exponencialment amb el temps.
Equació del moviment de l'anellMentre la intensitat en el solenoide creix de zero al seu valor màxim en l'instant t = p /(2w), l'anell experimenta una intensa força de repulsió durant un interval de temps curt. Aquesta força la podemos escriure de la forma
La força decreix exponencialment amb el temps amb una constante de temps t que és molt menor que el temps de vol de l'anell. Sobre l'anell actuen dues forces, la força magnètica i el pes. Suposem per a no complicar excessivament els càlculs que el fregament de l'aire és negligible, fet que confirmen els resultats experimentals.
Integrant respecte del temps, tenint en compte que en l'instant t = 0 la velocitat inicial és zero, v = 0,
Integrant de nou respecte del temps i tenint en compte que per a t = 0, x = 0,
S'arriba a la màxima altura quan v = 0. Ara bé, en l'instant que s'arriba a la màxima altura podem suposar que ha transcorregut suficient temps perquè l'exponencial tinga un valor pròxim a zero.
Balanç energètic i impuls de la força magnèticaSi tota l'energia emmagatzemada en el condensador es convertira en energia potencial de l'anell, s'elevar a alturès molt grans. Per exemple, per a un condensador de 12.7 mF carregat a una diferència de potencial de 2000 V, l'energia acumulada és CV2/2. L'energia potencial d'un anell de coure de 0.0389 kg que s'ha elevat fins una altura h és mgh. Igualem les dues energies i aïllem h = 66.6 m. L'elevació real de l'anell és d'uns quants centímetres, com es podrà comprovar en l'experiència simulada. Tan sols una petita fracció f de l'energia emmagatzemada en el condensador es converteix en energia cinètica inicial de l'anell, la resta es perd en les resistències, radiació, etc.
Por una altra parte, la força F de corta durada proporciona un impuls que fa que l'anell adquirisca una velocitat inicial v0,
De les dues eqcuacions obtenim el valor de F0
Així doncs, la dependència de l'altura màxima a la qual arriba l'anell amb V (diferència de potencial entre les plaques del condensador carregat) és de la forma següent:
és a dir
on A i B són paràmetres a determinar en l'ajust de les dades experimentals a un polinomi de segon grau, de les que es dedueixen f (la fracció d'energía del condensador que es converteix en energia mecànica) i t (la constant de temps de la força magnètica).
ActivitatsEn el programa interactiu se simula l'experiència descrita en l'article esmentat en les referències. Es tria un anell entre quatre possibilitats:
S'introdueix:
Es pitja el botó Empieza. S'observa com l'anell s'eleva fins una altura màxima, que es pot mesurar amb el regle vertical que n'hi ha. Al costat de l'anell dos vectors representen les magnituds relatives de la força magnètica (en roig) i del pes (en blau). En la part dreta de la gràfica es representa la velocitat de l'anell en funció del temps (en blau) i la força magnètica sobre l'anell en funció del temps. Les dades de l'experiància (V, xmáx) s'arrepleguen en el control área de text situat a l'esquerra de la miniaplicació (applet). Una vegada s'han arreplegat suficients dades es pitja el botó Enviar per al tractament en l'applet situat al final de la pàgina.
|
| Pitgeu el botó Enviar per a fer el tractament
de les dades de l'experiència
La miniaplicació (applet) situada tot seguit representa les dades experimentals i el polinomi de segon grau que ajusta millor aquestes dades. El programa calcula els coeficients del polinomi a[0] + a[1]x + a[2]x 2. El primer coeficient, a[0], serà pròxim a zero, el segon, a[1], és el que hem anomenat -B, i el tercer, a[2], és el coeficientA. |
Tanner P., Loebach J., Cook J., i Hallen H. D. A pulsed jumping ring apparatus for demostration of Lenz’s law. Am. J. Phys. 69 (8) August 2001 p. 911-916.
L'anell de Thomson (II)
