Electromagnetisme

Autoinducció i 
Inducció mutua

Autoinducció.
Circuit R-L

Circuits acoblats (I)

Circuits acoblats (II)

Oscil·lacions
elèctriques

El problema dels
dos condensadors

Elements d'un
circuit de C.A.

Mesura de l'auto-
inducció d'un anell

Circuit LCR en sèrie
Ressonància

Mesura de la velocitat
de la llum en el buit

Efectes mecànics de
la llei de Faraday

L'anell de Thomson (I)

L'anell de Thomson (II)

Circuit LCR. Oscil·lacions esmorteïdes.

Circuit LCR connectat a una fem alterna. Oscil·lacions forçades

Anem a obtenir les equacions de les oscil·lacions elèctriques, anàlogues a les oscil·lacions mecàniques estudiades en el capítol d'Oscil·lacions.

Circuit LC. Oscil·lacions lliures

L'equivalent mecànic del circuit LC són les oscil·lacions d'un sistema format per una massa puntual unida a una molla perfectament elàstica. L'equivalent hidràulic és un sistema format per dos vasos comunicants.

En primer lloc estudiem les oscil·lacions que es produeixen en un circuit LC.

En la figura de la dreta es mostra el circuit quan el condensador s'està descarregant; la càrrega q disminueix i la intensitat i augmenta. La fem en la bobina s'oposa a l'increment d'intensitat.

L'equació del circuit és

V_ab + V_ba = 0

Com que i = -dq/dt, ja que la càrrega q disminueix amb el temps, arribem a l'equació diferencial de segon ordre següent

Aquesta és l'equació diferencial d'un Moviment Harmònic Simple (M.H.S.) de freqüència angular pròpia o natural

Càrrega

La solució de l'equació diferencial és

q = Q·sin(w₀t+j )

on l'amplitud Q i la fase inicial j es determinen a partir de les condicions inicials; la càrrega del condensador q₀ i la intensitat del corrent elèctric en el circuit i₀ en l'instant inicial t = 0.

Intensitat

Derivant l'expressió de la càrrega q obtenim la intensitat i

i = dq/dt = Q·w₀ ·cos(w₀t+j )

Energia

L'energia del circuit en l'instant t és la suma de l'energia del camp elèctric en el condensador i l'energia del camp magnètico en la bobina.

Es pot comprovar fàcilment que la suma de les dues energies és constant i independent del temps.

1	2
3	4

Les figuras representen l'estat de l'oscil·lador cada quart de període.

1. En l'instant inicial el condensador està completament carregat, amb una càrrega Q. Tota l'energia està acumulada en el condensador en forma de camp elèctric.

2. El condensador es comença a descarregar, la intensitat augmenta, en la bobina es produeix una fem autoinduïda que s'oposa a l'increment d'intensitat. Al cap d'un quart de període s'arriba a la intensitat màxima, i = Q·w₀

3. La intensitat comença a disminuir, en la bobina es produeix una fem que s'oposa a que la intensitat disminuesca. El condensador es comença a carregar, el camp en el condensador canvia de sentit. Al cap d'un quart de període més el condensador ha adquirit la càrrega màxima Q, i la intensitat en la bobina s'ha reduït a zero.

4. Ara comença de nou a descarregar-se el condensador, la intensitat augmenta, el camp en la bobina canvia de sentit. Al cap d'un quart de període més la intensitat arriba al valor màxim (en valor absolut).

5. La intensitat decreix, el condensador comença a carregar-se, el camp elèctric en el condensador canvia de sentit. Al cap d'un quart de període més s'ha arribat a la situació inicial, de partida.

Activitats

S'introdueix:

•  La capacitat del condensador, C, actuant sobre la barra de desplaçament Condensador.
•  L'autoinducció L, actuant sobre la barra de desplaçament Autoinducció.
•  La càrrega inicial del condensador s'ha fixat en el programa.

Es pitja el botó Comença.

S'observa la càrrega del condensador; el seu color passa gradualment de roig (càrrega positiva) i blau (càrrega negativa) a blanc (sense càrrega); després s'inverteixen gradualment els colors. A la dreta de la miniaplicació (applet) es traça la gràfica de la càrrega q i de la intensitat i en funció del temps.

Circuit LCR. Oscil·lacions esmorteïdes

Les oscil·lacions lliures no es produeixen en un circuit real, ja que tot circuit presenta una resistència.

En la figura de la dreta es mostra el circuit quan el condensador s'està descarregant; la càrrega q disminueix i la intensitat i augmenta. La fem en la bobina s'oposa a l'increment d'intensitat.

L'equació del circuit és

V_ab + V_bc + V_ca = 0

Com que i = -dq/dt, ja que la càrrega q disminueix amb el temps, arribem a lequació diferencial de segon ordre següent

La solució de l'equació diferencial de les oscil·lacions esmorteïdes és

on l'amplitud Q i la fase inicial j es determinen a partir de les condicions inicials: la càrrega del condensador q₀ i la intensitat del corrent elèctric en el circuit i₀ en l'instant inicial, t = 0.

En les oscil·lacions esmorteïdes l'amplitud disminueix exponencialment amb el temps. La càrrega màxima del condensador va disminuint. L'energia del sistema disminueix degut a que se dissipa en la resistència per efecto Joule.

Es presenten dos casos particulars:

Quan g = w₀, aleshores la freqüència de l'oscil·lació w = 0; s'anomena oscil·lació crítica.

Quan g > w₀, aleshores la freqüència de l'oscil·lació w és un nombre imaginari, i s'anomena oscil·lació sobreesmorteïda.

Es fàcil trobar les relacions que ha de complir la capacitat C, la resistència R, i l'autoinducció L del circuit per tal que es presenten els diferents casos d'oscil·lació:

•  Esmorteïdes
•  Crítiques
•  Sobreesmorteïdes

Circuit LCR connectat a una fem alterna. Oscil·lacions forçades

Les oscil·lacions esmorteïdes desapareixen al cap de cert temps; per a mantenir l'oscil·lació en el circuit podem connectar-lo a una fem alterna de freqüència w.

L'equació del circuit és

V_ab + V_bc + V_cd + V_da = 0

Com que i = -dq/dt, si la càrrega q disminueix amb el temps, arribem a l'equació diferencial de segon ordre següent:

equació semblant a l'estudiada per a descriure les oscil·lacions forçades d'una massa unida a una molla elàstica.