Electromagnetisme

Llei de Faraday

Espires en un camp
magnètic variable (I)

Espires en un camp
magnètic variable (II)

Demostració de
la llei de Faraday (I)

Demostració de 
la llei de Faraday (II)

Accelerador de
partícules. El betatró

Vareta que es mou
  en un c. magnètic (I)

Caiguda d'una vareta
en un c. magnètic

Moviment d'una
espira a través
d'un c. magnètic

Mesura del camp
magnètic

Generador de corrent
altern

Galvanòmetre balístic

Corrents de
Foucault (I)

Corrents de
Foucault (II)

Inducció homopolar

Un disc motor i
generador

Vareta que es mou
en un c. magnètic (II)

Moment angular
dels camps EM (I)

Moment angular
dels camps EM (II)

Força sobre els portadors de càrrega

Estudi energètic

Activitats

Fan treball les forces magnètiques?

En les pàgines anteriors hem vist com s'obtenia una fem variant el camp magnètic amb el temps. Ara veurem com s'obté una fem engrandint o reduint el camí tancat que travessa un camp magnètic constant en el temps.

Siga un conductor rectilini que llisca amb velocitat constant v  per dues guies, com es mostra en la figura (més avall). Les guies estan connectades per un dels extrems per a formar un circuit tancat.

Obtinguem el valor de la fem i el sentit del corrent induït per dos procediments:

• La llei de Faraday per a calcular la fem i la llei de Lenz per a determinar el sentit del corrent induït.
• A partir de la força sobre els portadors de càrrega positius que es mou amb la vareta en el si d'un camp magnètic uniforme.

La llei de Faraday

Suposem que el camp magnètic B és constant i perpendicular al pla determinat per les guies i la vareta. El flux del camp magnètic a través del circuit de forma rectangular ABCD assenyalat en la figura és

on a·x és l'àrea del rectangle ABCD.

En moure's la vareta CD la dimensió x del rectangle augmenta o disminueix, i fa variar el flux amb el temps. D'acord amb la llei de Faraday, la fem induïda en el circuit ABCD és

Sentit del corrent induït

Si la vareta es mou cap a la dreta augmenta l'àrea S; el mateix li ocorre al flux F; el sentit del corrent induït és el de les manetes del rellotge.

Si la vareta es mou cap a l'esquerra l'àrea S disminueix; el mateix ocorre al fluxF; el sentit del corrent induït és contrari al de les manetes del rellotge.

Força sobre els portadors de càrrega

Obtinguem el mateix resultado per un procediment diferent, examinant les forces sobre els portadors de càrrega positius que hi ha a la vareta.

En moure's la vareta cap a la dreta, amb velocitat v, en el si d'un camp magnètic uniforme B, els portadors de càrrega es mouen amb la matexia velocitat horitzontal. La força sobre aquestos portadors és

f = q·v´B

Com quev i B són perpendiculars, el mòdul de la força és

f = q·v·B. 

La direcció de la força és la de la vareta i el sentit de D a C.

Tenim, per tant, un sistema de "bombeig" de càrrega positiva des de D cap al extrem C, anàleg al del generador de Van de Graaff des de la base cap a l'esfera conductora. De menys potencial a més potencial.

El camp E_n que impulsa les càrregues (força per unitat de càrrega) és E_n = v·B, i tan sols existeix en el tram DC de la vareta

El camp E_n té origen magnètic i és no-conservatiu.

La diferència de potencial entre l'extrem C i D és V_C-V_D = v·B·a, on a és la distància entre les guies. Com veiem, C està a un potencial major que D.

En connectar C iD mitjançant les guies, el corrent flueix espontàniament de C a D passant per B i A. Tenim l'equivalent a una bateria que produeix una fem VE = v·B·a. Si la resistència del circuit és R, la intensitat del corrent induït és i = Vε/R = v·B·a/R.

Estudi energètic

Quan circula per la vareta CD un corrent i, el camp magnètic B fa una força . El vector unitari u_t que assenyala el sentit del corrent i el camp B són mutuament perpendiculars i com que la longitud del conductor és a, el mòdul de la força magnètica és F_m = i·B·a. El seu sentit és l'indicat en la figura (cap a l'esquerra si la vareta es mou cap a la dreta).

Per tal que la vareta es moga amb velocitat constant v hem de fer una força F_a igual i de sentit contrari a F_m.

L'energia mecànica per unitat de temps (potència) subministrada serà

L'energia per unitat de temps (potència dissipada per efecte Joule) en la resistencia serà P_R = i²·R,

En l'estat estacionari la intensitat del corrent és constant, l'energia per unitat de temps subministrada mecànicament en moure la vareta es dissipa en la resistència en forma de calor.

Si considerem la vareta com una bateria la fem de la qual és V_ε= v·B·a, la potència subministrada per la fem serà P_ε =V_ε·i,

 

Activitats

La miniaplicació (applet) descriu el moviment d'una vareta que llisca sennse fregament sobre dues guies paral·leles. El sistema format per la vareta i les guies està contingut en un pla paral·lel als pols d'un imant.

S'introdueix:

• El camp magnètic, en gauss. Inicialment, el camp magnètic apunta en la direcció vertical, cap a dalt. Si introduim un valor negatiu, es canvia la polaritat dels imants i el camp magnètic apunta cap a baix.
• La velocitat de la vareta, en cm/s. Aquest valor pot ser positiu o negatiu. Si és positiu, la vareta es mou d'esquerra a dreta, i si és negatiu es mou de dreta a esquerra.
• La longitud de la vareta, en cm, o la distància entre les guies (un nombre menor que 15).

Es pitja el botó Comença.

El corrent induït es representa mitjançant el moviment de petits cercles de color roig (portadors de càrrega positius). També es representa la força sobre un portador de càrrega positiu mitjançant una fletx de color roig. La velocitat es representa mitjançant una fletxa de color negre, i el camp mitjançant una fletxa de color blau.

Exemple:

• B = 40 gauss = 0.004 T.
• v = 5 cm/s = 0.05 m/s.
• a = 10 cm = 0.1 m.

La fem val V_є = 0.04·0.05·0.1 = 2·10^-5 V.

Es recomana al lector que dibuixe sobre un paper el sistema format per la vareta i les guies, situats en un camp magnètic, amb el conveni següent:

• Un cercle amb un punt en el seu interior indica que el camp magnètic és perpendicular al pla del paper, i apunta cap al lector.
• Un cercle amb una creu representa un camp magnètic perpendicular al pla del papei i que apunta cap a dins, en sentit contrari a l'anterior.

1. Dibuixa el vector velocitat en el centre de la vareta.
2. Dibuixa la força sobre un portador de càrrega positiu situat en l'interior de la vareta i, tot seguit, el sentit del seu moviment (del corrent induït).

Alternativament:

1. Raona si el flux augmenta o disminueix.
2. Aplica la llei de Lenz i dibuixa el sentit del corrent induït.
3. Comprova que en els dos casos coincideix el sentit del corrent induït que has dibuixat.
4. Compara la resposta amb la que proporciona el programa interactiu.

Fan trebal les forces magnètiques?

La força que fa un camp magnètic B sobre una partícula que es mou amb velocitatv és

fm = q·v×B La força fm és perpendicular a la velocitat v de la partícula. Per això, la força que fa el campo magnètic sobre una partícula carregada no fa cap treball.

En l'apartat “força sobre els portadors de càrrega” s'ha esmentat que la força sobre els portadors de càrrega és f = q·v·B, que aquesta força té la direcció de la vareta, i que fa un trebal v·B·a sobre la unitat de càrrega que es mou des de D a C; açò, en realidad, no és així.

Com veurem ara mateix, la força f = q·v×B sobre la unitat de càrrega és la suma de dues forces, la força que fa la vareta sobre la càrrega i la força magnètica

Els portadors de càrrega es mouen horitzontalment amb velocitat v i també al llarg de la vareta, de D a C. La velocitat dels portadors de càrrega positius v_e fa un angle θ, amb la vareta, de manera que la component horitzontal de la velocitat dels portadors de càrrega ha de ser igual a la velocitat constantv de la vareta, v_e·senθ = v.

Les forces sobre els portadors de càrrega són:

• La força f_v que fa la vareta sobre els portadors de càrrega, i que és perpendicular a la vareta;

• la força que fa el campo magnètic, f_m= qv_e×B, que és perpendicular a la velocitat v_e.

Com que la velocitat horitzontal dels portadors de càrrega v és constant, la component horitzontal de la força resultant f ha de ser nul·la,

f_m·cosθ = f_v

La força resultante f=f_m+f_v , per tant, haurà d'estar dirigida al llarg de la vareta, com es mostra en la figura.

Quan un portador de càrrega positiu es mou des de D a C la força f fa un treball sobre el portador igual a f·a, on a és la distància entre C y D.

Com que f = f_m·sinθ,  f_m = qv_eB, i v_e·sinθ = v, concluim que f = qvB.

La força resultant sobre el portador de càrrega q en la vareta és f = q v×B,  i el trebal d'aquesta força és qvBa.

Mentre el portador de càrrega es desplaça una distància a des de C a D amb velocitat v_e·cosθ, la vareta es desplaça una distància

El trebal que desenvolupa la força f_v que fa la vareta sobre els portadors de càrrega és

f_v·x = f_m·cosθ·a·tanθ = qv_e·B·a·sinθ = qv·B·a

El trebal fet per la força resultant f coincideix amb el trebal fet per la força f_v que exerceix la vareta, ja que el treball fet per la força magnètica f_m és nul.

Com que la vareta fa una força cap la dreta sobre els portadors de càrrega, els portadores fan una força igual i de sentit contrari sobre la vareta. Per tal que aquesta es mantinga a velocitat constante és precís fer sobre la vareta una força externa, que s'ha considerat en l'apartat “Estudi energètic”.

Mirem ara l'interior de la vareta per veure l'origen de la força f_v que fa la vareta sobre els portadors de càrrega.

La component horitzontal de la força magnètica, fm·cosθ, desvia els portadors de càrrega positius cap a l'esquerra de la vareta. La superfície esquerra de la vareta es carrega positivament, i la derecha negativament; s'estableix així un camp EH (conegut com camp Hall, per l'efecte Hall) entre la cara esquerra i la dreta.

Aquest camp fa una força cap a la dreta sobre els portadors de càrrega, q·E_H . Les càrregues superficials augmenten fins que la força cap a la dreta, f_v =q·E_H , es fa igual a la component de la força magnètica f_m·cosθ  dirigida cap a l'esquerra.

Referència

Mosca E., Magnetic forces doing work? Am. J. Phys. 42, April 1974, pp. 295-297