Electromagnetisme

Moviment de les
partícules carregades

Forces sobre les
càrregues

Àtom de Bohr

L'oscil·loscopi

Separació de
llavors

Motor iònic

Accelerador lineal

mesura de la relació
càrrega/massa

Mesura de la unitat
fonamental de càrrega

L'espectròmetre
de masses

El ciclotró

Camps elèctric i
magnètic creuats

Activitats

Hem estudiat el moviment d'una partícula carregada sota l'acció d'un camp elèctric i un camp magnètic perpendiculars entre ells, en les situacions següents:

•  quan la partícula no es desvia (selector de velocitats)
•  sota l'acció exclusiva del camp elèctric
•  sota l'acció del camp magnètic

En aquesta página estudiarem el moviment d'una partícula de massa m i càrrega q sotmesa a l'acció simultània d'un camp elèctric E i d'un camp magnètic B, els dos uniformes i perpendiculars entre ells.

Descripció

Suposem que el camp magnètic B té la direcció de l'eix X, el camp elèctric E la direcció de l'eix Y i el vector velocitat v està en el pla YZ. Les components de la velocitat inicial són v_0y, v_0z

La força que fa el camp elèctric E sobre una càrrega q és Fe = q·E La força que fa el camp magnètic B sobre una partícula que té una càrrega q i una velocitat v és Fm= q·v´B

L'equació del moviment és

Les components de E, B i v són

B (B, 0, 0)
E (0, E, 0)
v (0, v_0y, v_0z)

S'obté el sistema d'equacions diferencials següent:

(1)

S'anomena freqüència de girw al quocient w = q·B/m, el qual, com hem vist, és la velocitat angular d'una partícula carregada en un camp magnètic uniforme.

Derivant les equacions (1) respecte del temps convertim un sistema d'equacions diferencials de primer ordre en un altre sistema d'equacions diferencials de segon ordre:

La solució de la primera equació és la mateixa que la d'un Moviment Harmònic Simple de freqüència angular w. La segona equació diferencial té una solució similar, perè a més a més té un terme addicional en el segon membre ; per tant, s'ha de sumar una solució particular a la solució general. Es pot comprovar que les solucions de les equaciones diferencials són

on C₁, C₂, D₁ i D₂ són constants que es determinen a partir de les condicions inicials.

Suposem que en l'instant t = 0 les velocitats inicials són v_0y i v_0z.

Les expressions de v_y i v_z quedaran així

Podem integrar v_y i v_z respecte del temps tenint en compte que la partícula ix de l'origen, y = 0, z = 0, en l'instant inicial t = 0.

Casos particulars

Examinarem alguns casos particulars interessants.

El selector de velocitats

Suposem que v_0y= 0. Per tal que la partícula no es desvie (la seua trajectòria siga l'eix Z) la velocitat inicial v_0z ha de tenir el valor v_0z= -E/B (quocient entre la intensitat del camp elèctric i del camp magnètic). Aquest és el fonament d'un selector de velocitats.

Corba cicloide

Quan l'ió ix de l'origen amb velocitat nul·la, v_0z = 0, v_0y = 0, les equacions de la trajectòria de la partícula se simplifiquen notablement,

Aquestes són les equacions paramètriques d'una cicloide generada per un punt de la vora d'un disco de radi R = E/(ωB) que roda sense lliscar, girant al voltant del seu eix amb velocitat angular ω i el centre del qual es mou amb velocitat constant, V = R·ω = E/B.

Moviment relatiu

Siga un sistema referencial R’ que es mou amb un moviment de traslació rectilíni i uniforme amb velocitat V. La relació entre la velocitat de la partícula carregada v en el sistema R i la velocitat v’ en el sistema R’ és

L'equació del moviment de la partícula en el sistema R’ serè

Sempre és posible triar V de manera que

La velocitat V s'anomena velocitat de deriva, V = E/B. La partícula en el sistema R’ descriu un moviment circular sota l'única acció de la força que fa el camp magnètic,

Siga una partícula carregada que es mou en una regió on hi ha camps creuats. Si la partícula ix del repós des de l'origen, el camp magnètic no actuarà sobre la partícula, la qual resultarà accelerada en la direcció del camp elèctric. Quan comença a guanyar velocitat comença a actuar la força que fa el camp magnètic curvant la trajectòria de la partícula.

Com hem vist, la trajectòria de la partícula és la composició de dos moviments: un de traslació del sistema R’ respecte de R i un altre de rotació en el sistema R’; la velocitat de traslació s'anomena velocitat de deriva. Aquest tipus de moviment ha estat analitzat en la secció moviment general d'un sòlid rígid.

Com que la velocitat de deriva V no depén de la càrrega de les partícules, els electrons deriven en la mateixa direcció que els ions positius. Però el moviment de gir w dels electrons és oposat al de les càrregues positives.

Exemples

Si v_0y=0 i v_0z=E/B la partícula es mou al llarg de l'eix Z sense desviar-se. Hem utilitzat aquest resultat en l'"experiència" de Thomson per a mesurar la velocitat del feix d'electrons, i en el selector de velocitats de l'espectròmetre de masses.

Proveu els exemples següents, amb E/B = 0.1 i w = 2,

• v_0y = 0.0, v_0z = -0.1
• v_0y = 0.1, v_0z = -0.1
• v_0y = 0.2, v_0z = -0.1

Corba cicloide

• v_0y = 0.0, v_0z = 0.0

Activitats

S'introdueixen les dades següents en els controls d'edició respectius:

•  la relació entre el camp elèctric i el camp magnètic, E/B, en el control d'edició c. elèctric/c. magnètic
•  la freqüència angular w, en el control d'edició freqüència angular
•  la component horitzontal de la velocitat inicial v_0y, en el control d'edició Velocitat Y
•  la component vertical de la velocitat inicial v_0z, en el control d'edició Velocitat Z

Es pitja el botó Comença.

S'observa el moviment de la partícula carregada.