Sólido rígido

Conservación del
momento angular

Discos que se
acoplan (I)

Discos que se
acoplan (II)

Giros del patinador de
hielo

Analogía con choque
frontal elástico

Péndulo balístico (II)

Caja que puede
volcar

Choque inelástico
bala-disco en rotación

Transferencia de la 
velocidad en un choque

Conservación 
m. lineal y m. angular

Choque disco-pared

Choque disco-disco

Actividades

Referencias

En esta página, se describe un ejemplo de sistema aislado en el que se aplica simultáneamente el principio de conservación del momento lineal y del momento angular.

El análisis de la colisión de una pelota con un bate es un problema complicado, ya que en el momento del choque la energía se disipa a causa de la deformación de la pelota y de las vibraciones del bate.

Descripción

Podemos efectuar una primera aproximación, suponiendo que el bate es una varilla rígida delgada de masa M y longitud L que está suspendida libremente e inicialmente en reposo, y la pelota se comporta como una partícula de masa m que lleva una velocidad u, y que choca con el bate a una altura x medida desde su centro de masas.

En la figura de la izquierda, se muestra la situación inicial y en la de la derecha la situación final: la partícula lleva una velocidad v, y el bate describe un movimiento de rotación alrededor de su centro de masas con velocidad angular ω, y su centro de masas se traslada con velocidad Vc.

El sistema formado por la partícula y la varilla es aislado, la resultante de las fuerzas exteriores es cero, por lo que son aplicables los principios de conservación del momento lineal y angular.

• Principio de conservación del momento lineal

mu=MV_c+mv

• Principio de conservación del momento angular

mu·x=I_cω+mv·x

donde I_c=ML²/12 es el memento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por el c.m.

Tenemos dos ecuaciones y tres incógnitas v, ω y V_c.

• El balance energético de la colisión es la diferencia entre las energías cinética final e inicial.

donde Q es la energía perdida en la colisión, una cantidad negativa que indica que la energía final es menor que la inicial.

Si el choque es perfectamente elástico Q=0, disponemos de una tercera ecuación que nos permite despejar las tres incógnitas: v, ω y V_c  conocida la velocidad u de la partícula incidente. En los demás casos desconocemos el valor de Q.

La definición de coeficiente de restitución e nos proporciona la tercera ecuación

Podemos suponer que la partícula de masa m y velocidad u choca contra una hipotética partícula inicialmente en reposo situada en el bate a una altura x. Después del choque la primera partícula lleva una velocidad v, y la segunda una velocidad V_c+ ω·x, la suma de la velocidad de traslación y rotación.

la velocidad relativa de acercamiento es u-0 la velocidad relativa de alejamiento es v-(Vc+ ω·x) El coeficiente de restitución e se define v-(Vc+ ω·x)=-e(u-0)

Si conocemos el dato del coeficiente de restitución e, disponemos de tres ecuaciones con tres incógnitas. Después de algunas operaciones obtenemos

• La velocidad angular ω de rotación de la varilla alrededor de un eje que pasa por el c.m.

• La velocidad V_c de traslación del c.m. de la varilla

• La velocidad v de la partícula después del choque

v=-eu+V_c+ω·x

A continuación, podemos calcular las energías de la partícula y de la varilla antes y después del choque.

Casos particulares

• Colisión inelástica partícula-varilla

Supongamos que una bala con velocidad u que choca con un bloque de masa M y longitud L y se empotra en el mismo, tal como se indica la figura. La velocidad inicial de la bala de masa m es u La velocidad final de la bala es v=Vc+ωx, siendo Vc la velocidad del c.m. del bloque y ω la velocidad angular de rotación del bloque alrededor de un eje que pasa por el c.m.

1.      Del principio de conservación del momento lineal, obtenemos la primera ecuación
mu=MV_c+m(V_c+ωx)

2.      Del principio de conservación del momento angular, obtenemos la segunda ecuación
mu·x=I_cω +m(V_c+ωx)x

El primer término, es el momento angular del bloque y el segundo, el momento angular de la bala empotrada a una distancia x del eje del bloque.

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas V_c y ω.

Que son las ecuaciones que hemos obtenido anteriormente con el coeficiente de restitución e=0.

• La partícula impacta en el c.m. de la varilla

Supongamos que x=0, la partícula choca con el c.m. de la varilla. Esto es equivalente al choque de dos partículas una de masa m y velocidad u y otra de masa M inicialmente en reposo. Las ecuaciones que describen este choque son

• Conservación del momento lineal

mu=MV_c+mv

• Definición de coeficiente de restitución

v-V_c=-e·u

Despejamos las incógnitas v y V_c

v=V_c-eu

Que como vemos son las ecuaciones deducidas anteriormente con x=0.

Actividades

Se introduce

• La masa m de la partícula, en el control de edición titulado Masa partícula.
• La masa de la varilla M, en el control de edición titulado Masa varilla
• El coeficiente de restitución e, en el control de edición titulado Coeficiente de restitución.
• La longitud de la varilla L se mantiene fija e igual a 1 m.
• La velocidad u de la partícula incidente se mantiene fija e igual a 1 m/s.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Con el puntero del ratón, se arrastra la partícula incidente de color rojo, para fijar el valor del brazo x.

Se pulsa el botón titulado Empieza

La partícula incidente se mueve hacia la varilla. Choca y observamos el movimiento de la partícula incidente (de color rojo) después del choque, y el movimiento de traslación y de rotación de la varilla.

En la parte superior izquierda, se nos proporciona los datos relativos a las velocidades

• v de la partícula después del choque
• V_c de traslación del c.m. de la varilla
• ω de rotación de la varilla alrededor de un eje que pasa por el c.m.

En la parte inferior izquierda, se representa un diagrama en forma de tarta que muestra como se distribuye la energía después del choque. Los sectores representan:

• La energía cinética de la partícula incidente después del choque E₁=mv²/2 (en color rojo).
• La energía cinética de traslación del c.m. de la varilla E₂=MV_c²/2 (en color azul).
• La energía cinética de rotación de la varilla E₃=I_cω²/2 (en color gris)

Si el choque es elástico, la energía inicial es igual a la final. Si el choque no es elástico la energía inicial es mayor que la final. Un círculo de mayor radio de color gris claro indica la energía inicial, y el de menor radio dividido en sectores la energía final.