Sòlid rígid

Conservació del

moment angular

Discs que s’acoplen (I)

Discs que s’acoblen (II)

Girs del patinador de

gel

Analogia amb xoc

frontal elàstic

Pèndol balístic (II)

Caixa que pot

volcar

Xoc inelàstic

Bala-disc en rotació

Transferència de la 

velocitat en un xoc

Conservació 

m. lineal i m. angular

Xoc disc-paret

Xoc disc-disc

Fonaments físics

El paper de les forces internes

Activitats

Tenim dos discs, l’inferior té un radi d’1 m i el superior té un radi de 0.5 m que poden girar al voltant del mateix eix però amb velocitats angulars distintes. En un moment donat, el disc superior cau i s’acopla al disc inferior. Es demana calcular la velocitat angular de rotació del conjunt dels dos discs acoplats.

Mitjançant aquesta simulació, es volen mostrar que les forces interiors o d’interacció mutua entre les partícules del sistema no afecten l’estat final del sistema.

Fonaments físics

Tenim un sistema format por dos discs que giren al voltant d’un eix comú. El moment de les forces exteriors respecte de l’eix de rotació O és nul, per la qual cosa es conserva el moment angular

El moment angular d’un sòlid en rotació al voltant d’un eix fixe amb velocitat angular w és L=Iw

La fòrmula del moment d’inèrcia I₀ d’un disc respecte a un eix de rotació perpendicular al disc i que passe pel seu centre és

Moment angular abans de l’acoplament

El moment angular del sistema abans de l’acoplament és la suma dels moments angulars de cadascun dels discs

L=I₁w₁+ I₂w₂

On w₁ i w₂ són les velocitats angulars inicials abans de l’acoplament.

Moment angular després de l’acoplament

Després de l’acoplament ambdós discs porten una velocitat angular comú w .

L=I₁w + I₂w

Principi de conservació del moment angular

Aïllant la velocitat angular w , tenim

Aquesta fòrmula és similar al xoc entre una bala i un bloc, quan la bala s’incrusta al bloc.

Balanç energètic

Energia abans de l’acoplament

Energia després de l’acoplament

El treball de la força de fregament a l’acoplament és W=E_f-E_i. Fent algunes simplificacions podem arribar a aquesta expressió final

L’energia final és sempre menor que la inicial E_f<E_i

El paper de les forces internes

La velocitat angular dels discs acoplats canvia des de les velocitats angulars inicials w₁ i w₂ a la velocitat angular final w al llarg d’un temps t.

Sobre els discs actuen forces interiors de fregament entre les superfícies en contacte de mode que, un dels discs s’accelera i l’altre es deccelera fins que adquireixen la mateixa velocitat angular final w.

Equació de la dinàmica de rotació

Formulem l’equació de la dinàmica de rotació per a cadascun dels discs

-M_r=I₁·a₁
M_r=I₂·a₂

Suposant que M_r és constante, les acceleracions angulars són constants, les velocitats angulars valdràn

w₁ =w₁₀ +a₁t
w₂=w₂₀+a₂t

on w₁₀ i w₂₀ són les velocitats angulars inicials a l’instant t=0.

A partir d’aquestes equacions es pot calcular el tiemps t que triguen els discs en adquirir la mateixa velocitat angular w₁=w₂=w.

També podem calcular el desplaçament de cadascun dels discs durant l’interval de temps t.

Treball de les forces internes

El treball del moment de la força de fregament és

W=-M_r·q₁+M_r·q₂

Com veiem per les fletxes a la figura, M_r és oposat al desplaçament q₁ (treball negatiu), i és del mateix sentit que el desplaçament q₂ (treball positiu).

Fent algunes operacions podem arribar en pocs passos a la mateixa expressió per a W que la que obtenim a partir del balanç energètic després d’aplicar el principi de conservació del moment angular. Però ara podem interpretar millor l’origen de la dissipació de l’energia durant el temps t que dura l’acoplament (fins que els discs abasten la mateixa velocitat angular final).

Exemples

Exemple 1r:

• Moments d’inèrcia

Siga m₁=0.2 kg, r₁=1.0 m, I₁=0.1 kg·m²
Siga m₂=0.8 kg, r₂=0.5 m, I₂=0.1 kg·m²

• Velocitats angulars inicials

Siga w₁=2 rad/s
Siga w₂=0 rad/s

1. Principi de conservació del moment angular

0.1·2+0.1·0=(0.1+0.1)·w , per la qual cosa w =1 rad/s

·        Balancç energètic

E_i=0.2 J
E_f=0.1 J
W=E_f-E_i=-0.1 J

2. Forces internes

Siga el moment de les forces de fregament M_r=0.1 N·m. Calculem les acceleracions angulars de cada disc

-0.1=0.1·a₁
0.1=0.1·a₂

Ara les velocitats angulars finals

w_{1 =}2-1·t
w₂₌0+1·t

Les velocitats angulars w₁ =w₂ es fan iguals a l’instant t=1 s després d’haver-se acoplat. En aquest instant la velocitat angular comú és 1 rad/s

·        Balanç energètic

Desplaçaments (angle girat per cada disc en el temps t)

q₁=1.5 rad
q₂=0.5 rad

Treball del moment de les forces de fregament

W=-0.1·1.5+0.1·0.5=-0.1 J

El moment de les forces de fregament s’oposa al desplaçament del primer disc i afavoreix el del segon

Obtenim el mateix valor que a l’apartat 1r

Exemple 2n

Un cas interessant es produeix quan ambdós discs tenen el mateix moment d’inèrcia, i velocitats angulars iguals i de sentit contrari

• Moments d’inèrcia

Siga m₁=0.2 kg, r₁=1.0 m, I₁=0.1 kg·m²
Siga m₂=0.8 kg, r₂=0.5 m, I₂=0.1 kg·m²

• Velocitats angulars inicials

Siga w₁=-4 rad/s
Siga w₂=4 rad/s

1. Principi de conservació del moment angular

0.1·4-0.1·4=(0.1+0.1)·w , per la qual cosa w =0 rad/s

Els discs es paren després d’acoplar-se

·        Balanç energètic

E_i=1.6 J
E_f=0.0 J

La pèrduda d’energia durant l’acoplament

W=E_f-E_i=-1.6 J

2. Forces internes

Siga el moment de les forces de fregament M_r=0.1 N·m. Calculem les acceleracions angulars de cada disc

-0.1=0.1·a₁
0.1=0.1·a₂

Ara les velocitats angulars finals

w_{1 =}4-1·t
w₂₌-4+1·t

Les velocitats angulars w₁ =w₂ es fan iguals a l’instant t=4 s després d’haver-se acoplat. En aquest instant la velocitat angular final comú és zero

·        Balanç energètic

Desplaçaments (angle girat pels discs) durant el temps t

q₁=8 rad
q₂=-8 rad

Treball del moment de les forces de fregament

W=-0.1·8+0.1·(-8)=-1.6 J

Fixar-se ara que el moment de les forces de fregament s’oposa al desplaçament d’ambdós discs

Activitats

S’introdueix:

• Massa del disc inferior m₁ (kg)
• El radi del disc inferior està fixat al programa r₁=1 m
• Velocitat angular inicial w₁ (rad/s)
• Massa del disc superior m₂ (kg)
• El radi del disc superior està fixat al programa r₂=0.5 m
• Velocitat angular inicial w₂ (rad/s)
• Moment de les forces de fregament entre els discs M_r (N·m)

Es prem el botó titulat Inici.

Els discs comencen a girar primer un independentment de l’altre. A la part esquerra de l’applet, tenim un diagrama de dues barres, una per a l’energia i una altra per al moment angular.

Es prem el botó titulat Comença

S’activa un mecanisme que fa que el disc superior s’acople amb l’inferior (vegeu el dibuix a la part inferior de l’applet).

Quan estan acoplats comença a actuar el moment de les forces de fregament.

A la part dreta de l’applet, observem l’evolució de la velocitat angular de cada disc en funció del temps. Podem comprovar que la magnitud del moment de la força de fregament no afecta a la velocitat angular final comú de ambdós discs. Tan sols, al temps que triguen en abastar dit estat final.

A la part esquerra de l’applet, es mostra l’energia i el moment angular de cadascun dels discs. La conservació del moment angular no implica la conservació de l’energia. L’efecte de l’acoplament és la disminució de l’energia inicial que es perd en forma de calor degut al fregament entre ambdós discs, mentre que el moment angular permaneix constant. El moment angular d’un disc augmenta, el de l’altre disminueix però la suma és constant.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.