Sòlid rígid

Estàtica. Elasticitat

Moment d'una força

Mesura del mòdul
d'elasticitat

Flexió d'una viga

Viclament
d'una barra

Mesura del mòdul
de cisallament

Catenària

Formulació contínua

Catenària no simètrica

Referències

Anem a estudiar el problema d'un cable penjant subjecte pels seus dos extrems com els que empren les companyies elèctriques per a dur el corrent d'alta tensió entre les centrals elèctriques i els centres de consum. La catenària com ara la cicloide, son dues corbes importants en la Física i en les Matemàtiques.

La corba que descriu un cable que està fix pels seus dos extrems i no està sotmès a altres forces distintes que el seu propi pes és una catenària. La catenària es va confondre al principi amb la paràbola, fins a que els germans Bernoulli, simultàniament amb Leibniz i Huygens, van resoldre el problema.

Formulació discreta

Tenim una cadena de boletes metàl·liques com les que s'utilitzen per a subjectar els taps de les aigüeres. Suposarem que hi ha N boletes igualment repartides sobre un fil de longitud L i de massa negligible.

Cada boleta estarà, per tant, sotmesa a tres forces: el seu propi pes, la força que exerceix el fil a la seua esquerra i a la seua dreta.

La condició d'equilibri per a la bolita i de massa m s'expressa

Totes les components horitzontals de la tensió del fil són iguals, i l'anomenarem T_x.

Dividint la segona equació per T_x temim la següent relació entre l'angle q _i i l'angle q _i+1

A la quantitat constant quocient entre el pes de cada boleta mg i la component horitzontal T_x de la tensió del fil, l'anomenarem paràmetre g . La relació de recurrència s'escriu per a cada boleta i = 1... N.

tanq₁ = tanq₀-g
tanq₂ = tanq₁-g
tanq₃ = tanq₂-g
...............
tanq_i = tanq_i-1-g
.............
tanq_N-1 = tanq_N-2-g
tanq_N = tanq_N-1-g

Sumando miembro a miembro obtenemos el ángulo q_N en función del ángulo inicial q₀.

tanq_N = tanq₀-Ng

Si los extremos del hilo están a la misma altura, por razón de simetría tendremos que

tanq₀ = - tanq_N

Per tant,

tanq₀ = Ng /2

Sumant membre a membre la relació de recurrència fins al terme i, obtenim l'angle q_i en funció de l'angle inicial q₀.

tanq_i = tanq₀-g i = (N-2i)·g /2

L'angle q_i que forma el fil amb l'horitzontal en la posició de cadascuna de les boletes, l'angle inicial q₀ i el final q_N es calculen mitjançant la fòrmula següent

Les coordenades (x_i, y_i) de la boleta i s'obtindran sumant les projeccions d·cosq _j i d·sinq _j, j = 0...i-1, sobre l'eix X i sobre l'eix Y respectivament, sent d la distància entre dues boletes consecutives d = L/(N+1)

 

Activitats

Per a representar l'estat d'equilibri d'un fil de longitud donada L, de massa negligible en el qual s'han fixat N boletes equidistants, s'introdueix en l'applet

• El nombre de boletes, un nombre comprés entre 3 i 30.
• El valor del paràmetre g , un nombre comprés entre 0.5 i 2.0 que representa el quocient entre el pes de cada boleta mg i la component horitzontal T_x de la tensió del fil.

Una vegada introduïdes les dades, polsem el botó anomenat Dibuixa.

Formulació contínua

Considerem un cable de longitud L subjecte pels seus dos extrems situats a la mateixa alçada i que disten a un de l'altre. Si r és la densitat del cable (massa per unitat de longitud).

En la figura, es representa les forces que actuen sobre una porció s de cable que té com a extrem el punt més baix A:

• el pes,
• la força que exerceix la part esquerra del cable sobre l'extrem esquerre A d'aquest segment,
• la força que exerceix la part dreta del cable sobre l'extrem dret P del segment s.

La condició d'equilibri s'escriu

O bé,

Derivant respecte de x, i tenint en compte que la longitud de l'arc diferencial ds² = dx²+dy²

                  (1)

Integrant aquesta equació, tenint en compte que per a x = a/2, (en el punt més baix A de la corba) dy/dx = 0.

Integrant de nou, amb la condició que per a x = a/2, i = -h.

Com que la catenària és simètrica per a x = a, i = 0, la fletxa h val:

L'equació de la catenària és, finalment

                    (2)

La longitud de la catenària és

                (3)

Coneixent

• La longitud de la catenària L
• La densitat del cable r
• La "llum" de la catenària a.

Es calcula T₀ resolent numèricament l'equació trascendent (3).  A continuació, es representa l'equació de la catenària (2).

La figura és una superposició de les imatges generades pels dos applets d'aquesta pàgina que mostren com l'aproximació discreta i contínua coincideixen quan el paràmetre g  és gran i difereixen quan g  és menuda. El paràmetre  g = mg/T_x  és el quocient entre el pes de cada boleta i la component horitzontal de la tensió del fil, que és la mateixa en cadascuna de les boletes.

Catenària no simètrica

En cas que la catenària no siga simètrica, és a dir, un dels extrems estiga a distinta alçària que l'altre, l'equació de la catenària resulta bastant més complicada.

Partim de l'equació diferencial (1), la integrem i prenem com a límit inferior l'origen O, en lloc del punt A, el més baix del cable, que ara ja no és el punt mitjà x = a/2, sinó un altre punt desconegut.

On C₁ = r g/T₀ és una constant que depén de T₀ (la tensió en el punt més baix del cable) que és desconeguda de moment, i C₂ és una constant d'integració el valor de la qual també és desconegut.

Integrant de nou, respecte de x

Les tres constants d'integració s'obtenen a partir de les condicions següents:

• Que l'extrem esquerre del cable x = 0, i = 0
• Que l'extrem dret del cable x = a, i = b.
• La longitud del cable és L.

Activitats

Per a representar la catenària de longitud L donada, se situa el punter del ratolí en el quadrat menut de color roig en l'extrem dret del cable, es pitja el botó esquerre del ratolí i s'arrossega.

Quan se solta el botó esquerre del ratolí, es dibuixa la catenària.

Exemple:

Considerem el cas de la catenària simètrica, quan els dos extrems estan a la mateixa alçària.

Primer resolem l'equació trascendent (3)

A continuació, calculem la "fletxa" h

Si la longitud del cable és L = 100, i la "llum" és a = 50, resolem per qualsevol procediment numèric l'equació trascendent, la solució de la qual és g = 0.04355, i a continuació calculem h = 39.8

Si canviem la "llum" a = 80, obtenim g = 0.01478, i h = 26.53