El gronxador
|
|
Sòlid rígid
|
Dinàmica de rotació Equació de la dinàmica de rotació Moments d’inèrcia Dinàmica de rotació i balanç energètic Pèndol de torsióPèndol compost
Vareta inclinada Escala que llisca Llapis que cau Pèndol de Wilberforce |
|
|||||||||||||||
|
S’efectuarà un anàlisi simplificat, al
qual es considera al xiquet com una massa puntual situada al seu centre de
masses, que pot pujar o baixar el seu c.m. una longitud δ
mitjançant l’acció de les forces interiors. Es menysprearà també el fregament
de l’aire i en l’eix del gronxador. Etapes
del moviment
En aquest apartat, farem un anàlisi
detallat de cadascuna de les etapes d’un cicle de les oscil·lacions del
gronxador. Primera etapa
Segona etapa
La velocitat angular final ω2
augmenta al disminuir la distància a l’eix de rotació.
L’energia total és
Balanç energètic Calculem en la posició d’equilibri θ=0,
l’energia inicial, la final i el treball que exerceix les forces interiors
per a pujar una altura δ el centre de masses del xiquet. L’energia inicial és
L’energia final és
La força F té el mateix sentit
que el desplaçament, el treball és positiu
Hem comprovat que el treball realitzat per
les forces interiors per a elevar el c.m. és igual a la diferència entre
l’energia final i la inicial. Tercera etapa
Tenim ara la situació oposada a la
primera etapa, el gronxador amb una velocitat angular inicial ω2
en la posició θ=0, abasta un màxim desplaçamento angular θ1.
Aplicant el principi de conservació de l’energia
L’angle màxim θ1
que es desvia el gronxador és, combinades les expressions anteriors
com d>(d-δ)
resulta que θ1>θ0 L’energia total és E2=mg(d-δ)(1-cosθ1)+mgδ=mgd(1-cosθ1)+mgδcosθ1 Quarta etapa
L’energia total és E3=mgd(1-cosθ1) Cinquena etapa
És similar a la primera etapa, el
gronxador es mou cap a la posició d’equilibri estable θ=0, que abasta
amb una velocitat angular ω3. Aplicant el principi de
conservació de l’energia
L’energia total és E3 Sisena etapa
Setena etapa
La setena etapa és similar a la tercera
etapa. El gronxador parteix de la posició d’equilibri estable θ=0,
amb una velocitat angular inicial ω4, abastant un
desplaçament màxim θ2 que s’obté aplicant el principi
de conservació de l’energia
Com ω4>
ω3 el màxim desplaçament θ2 >
θ1 Relacionem ambdós desplaçaments
mitjançant la fòrmula
L’energia total és E4=mg(d-δ)(1-cosθ2)+mgδ=mgd(1-cosθ2)+mgδcosθ2 Vuitena etapa
Equacions del moviment del gronxador
entre les posicions mitjana i extremes
El moment M de les forces que
actuen sobre la partícula respecte de l’origen O és M=-mglsinθ L’equació del moviment és dL/dt=M
s’escriu en forma d’equació diferencial
Les condicions inicials depenen de cada
etapa del moviment:
Resumint
Exemple
En la figura es mostra un cicle complet
d’operació del gronxador
1.-L’energia inicial és E1=mgd(1-cosθ0)=m·9.8·1.0·(1-cos10º)=0.15·m 2.-S’aplica el principi de conservació
de l’energia. La velocitat angular ω1 en la posició
d’equilibri és
L’energia E2=E1 3.-El centre de massa ascendeix, es
conserva el moment angular md2·ω1=m(d-δ)2·ω2,
ω2 =0.62 rad/s L’energia total és
4.-L’energia cinètica es converteix en
energia potencial, el gronxador es desvia un angle θ1
L’energia E4=E3
5.-El centre de masses descendeix,
l’energia total és E5=m9.8·1(1-cos11º)=0.18·m 6.-S’aplica el principi de conservació
de l’energia. La velocitat angular ω3 en la posició
d’equilibri és
L’energia E6=E5 7.-El centre de massa ascendeix, es
conserva el moment angular md2·ω3=m(d-δ)2·ω4,
ω4 =0.68 rad/s L’energia total és
8.- L’energia cinètica es converteix en
energia potencial, el gronxador es desvia un angle θ2
L’energia E8=E7 9.-El centre de masses descendeix, l’energia
total és E9=m9.8·1(1-cos12º)=0.22·m 10.-Comença un nou cicle. Els desplaçaments màxims es poden
calcular mitjançant les fòrmules
Apliquem la mateixa fòrmula per a calcular
el desplaçament màxim θ2, conegut θ1.
i així succesivament... El programa interactiu, s’ha dissenyat
de mode que el desplaçament màxim θi (i=0, 1, 2,3
..) no cresca indefinidament. Quan aquest desplaçament supera 75º,
s’inverteix el sentit de δ. El c.m. baixa quan el gronxador passa
per la posició d’equilibri θ=0 disminuïnt la velocitat
angular en compte d’augmentar-la. Des del punt de vista energètic direm que
les forces interiors realitzen un treball negatiu que fan que l’energia final
siga menor que la inicial. El gronxador va disminuïnt d’amplària en
cada cicle del seu moviment oscil·latori, fins parar-se després d’un temps
teòricament infinit. En la pràctica, els fregaments amb l’aire i en l’eix i
altres variables que no s’han tingut en compte en aquest model simplificat
fan que es pare al cap de cert temps. Activitats
S’introdueix
Es prem el botó titulat Comença S’observa el moviment del gronxador, i
el canvi de posició del c.m. del xiquet representat per un punt de color
roig, quan el gronxador passa per les posicions de màxim desplaçament ω=0,
per la posició d’equilibri estable θ=0. En la part dreta del applet, es mostra
l’energia total del gronxador. El nivell zero d’energia potencial s’ha
establert en la part més baixa de la trajectòria del c.m, és a dir, en la
posició del c.m. quan el gronxador està en equilibri θ0=0.
Podem observar on canvia l’energia total, i on es conserva, transformant-se
l’energia potencial en cinètica i viceversa. |
