Sòlid rígid |
Dinàmica de rotació Equació de la dinàmica de rotació
Dinàmica de rotació i balanç energètic Pèndol de torsió Pèndol compost El gronxador Vareta inclinada Escala que llisca Llapis que cau Pèndol de Wilberforce |
Moment d'inèrcia d'una distribució de masses puntuals | |||||||||||||
|
En aquesta pàgina es resolen els problemes més habituals de càlcul de moments d'inèrcia.
Moment d'inèrcia d'una distribució de masses puntualsHem de calcular la magnitud
on xi és la distància de la partícula de massa mi a l'eix de rotació. Tenim una vareta prima de 1 m de longitud que té una massa negligible. Col·loquem 5 masses de 1 kg cadascuna en punts situats a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75 i 1.0 m d'un extrem. Calculeu el moment d'inèrcia del sistema respecte d'un eix perpendicular a la vareta i que passa a través de:
En lloc de calcular de forma directa els moments d'inèrcia els podem calcular de forma indirecta si emprem el teorema de Steiner. Si coneixem IC podem calcular IA i IB a partir de les distàncies entre els eixos paral·lels AC = 0.5 m i BC = 0.25 m. La fórmula que hem d'aplicar és I = IC + Md2
IA = IC + 5·0.52 = 0.625 + 1.25 = 1.875 kg m2 IB = IC + 5·0.252 = 0.625 + 0.3125 = 0.9375 kg m2
Moment d'inèrcia d'una distribució contínua de massaPassem d'una distribució de masses puntuals a una distribució contínua de massa. La fórmula que hem d'aplicar és
dm és un element de massa situat a una distància x de l'eix de rotació. Resolem diversos exemples, dividits en dues categories:
Moment d'inèrcia d'una vareta
La massa dm de l'element de longitud de la vareta comprés entre x i x+dx és
El moment d'inèrcia de la vareta és
Moment d'inèrcia d'un discCalculem el moment d'inèrcia d'un disc de massa M i radi R respecte d'un eix perpendicular al pla del disc i que passa pel centre del disc.
Prenem un element de massa que dista x de l'eix de rotació. L'element és un anell de radi x i d'amplària dx. Si retallem l'anell i l'estenem es converteix en un rectangle de longitud 2px, d'amplària dx i de massa
El moment d'inèrcia del disc és
Moment d'inèrcia d'un cilindreCalculem el moment d'inèrcia d'un cilindre de massa M, radi R i longitud L, respecte de l'eix del cilindre.
Prenem un element de massa que dista x de l'eix de rotació. L'element és una capa cilíndrica que té un radi interior x, un radi exterior x+dx i una longitud L, com mostra la figura. La massa dm que conté aquesta capa és
El moment d'inèrcia del cilindre és
Moment d'inèrcia d'una placa rectangular
El moment d'inèrcia de la placa rectangular és
Moment d'inèrcia d'un disc
El moment d'inèrcia del disc és
Si fem el canvi de variable x
= R·cosθ arribem a la integral
Calculem el moment d'inèrcia d'una esfera de massa M i radi R respecte d'un dels diàmetres.
Dividim l'esfera en discos de radi x i de gruix dz. El moment d'inèrcia de cada disc elemental és
La massa de cada disc és
El moment d'inèrcia de l'esfera és la suma dels moments d'inèrcia de tots els discos elementals,
Per tal de resoldre la integral hem de relacionar la variable x amb la z. Com veiem en la figura, x2+z2=R2,
Moment d'inèrcia d'un cilindre Calculem el moment d'inèrcia d'un cilindre de massa M, radi R i longitud L, respecte d'un eix perpendicular a la seua generatriu i que passa pel centre,
Dividim el cilindre en discos de radi R i gruix dx. El moment d'inèrcia de cada disc respecte d'un dels diametres és
Apliquem el teorema de Steiner i calculem el moment d'inèrcia del disc respecte d'un eix paral·lel i situat a una distància x,
El moment d'inèrcia del cilindre és
Moment d'inèrcia d'un paral·lepíped Calculem el moment d'inèrcia d'un paral·lepíped de massa M i de costats a, b i c respecte d'un eix perpendicular a una de les cares.
Dividim el paral·lepíped en plaques rectangulars de costats a i b i de gruix dx. El moment d'inèrcia de cada placa respecte de l'eix de simetria és
Apliquem el teorema de Steiner i calculem el moment d'inèrcia d'aquesta placa respecte d'un eix paral·lel i situat a una distància x,
El moment d'inèrcia del sòlid en forma de paral·lepíped és
|
Moments d'inèrcia
