Sòlid rígid |
Dinàmica de rotació Equació de la dinàmica de rotació Moments d'inèrcia Dinàmica de rotació i balanç energètic Pèndol de torsió Pèndol compost El gronxador Vareta inclinada Escala que llisca
Pèndol de Wilberforce |
Equació del moviment | |
|
El moviment de caiguda d'un llapis ens mostra que l'equació del moviment
on el moment angular L i el moment de les forces exteriors M s'avaluen al punt O de contacte del llapis amb el terra no és correcta, ja que O no està en repòs respecte a un sistema inercial de referència. Tenim que emprar l'equació
que és vàlida inclús si el centre de masses (c.m.) no està en repòs amb relació al sistema inercial de referència
Equació del moviment
La posició del c.m. és y=(L/2)cosθ La velocitat del c.m. és
Equació del moviment del centre de masses
que podem escriure en termes de l'angle θ
L'equació del moviment de rotació al voltant del c.m. és
On Ic=mL2/12 és el moment d'inèrcia d'una vareta de massa m i longitud L respecte d'un eix perpendicular a la vareta que passa pel c.m. Eliminant la reacció N de les equacions (1) i (2), obtenim una equació diferencial que es resol per procediments numèrics
amb les condicions inicials: t=0, θ= θ0, dθ/dt=0. Una vegada calculat l'angle θ a l'instant t, l'altura y del c.m. val y=(L/2)cosθ. Aproximació Quan el llapis està en posició quasi vertical, l'angle θ és menut, i la velocitat dθ/dt és menuda, l'equació diferencial pot escriure's
La solució d'aquesta equació diferencial és de la forma
Els coeficients A i B es determinen a partir de les condicions inicials t=0, θ= θ0, dθ/dt=0. θ=θ0·cosh(k·t) Si kt és gran, el cosinus hiperbòlic es pot aproximar a cosh(kt)≈exp(kt)/2, aïllem el temps t.
Per exemple si L=1 m, θ0=0.0001 rad i θ=0.1 rad, el temps t=0.99 s.
Balanç energèticL'energia cinètica del llapis és la suma de l'energia de cinètica de rotació al voltant del c.m. més l'energia de translació del c.m.
L'energia potencial del c.m. és Ep=mgy=mg(L/2)cosθ La suma d'ambdúes contribucions és l'energia total, que és l'energia potencial inicial del llapis
Derivant respecte del temps,
aïllem d2θ/dt2 i tornem a obtindre de nou l'equació del moviment. En la posició final θ=π/2, l'energia potencial del c.m. és nula, i l'energia cinètica es reparteix de la següent manera:
ActivitatsS'introdueix
Es prem el botó titulat Comença Observem el moviment del llapis. A la part dreta, tenim un diagrama que ens mostra com van canviant els distints tipus d'energia a mesura que cau el llapis
|
Crawford F. S. Problem: Moments to remember. Am. J. Phys. 57 (2) February 1989, pp. 105, solución 177
Llapis que cau
(1)
(2)
