Sòlid rígid

Estàtica. Elasticitat

Moment d'una força

Mesura del mòdul
d'elasticitat

Flexió d'una biga

Vinclament
d'una barra

Mesura del mòdul
de cisallament

Catenària

Estudi de la flexió d'una biga volada

Referències

En aquesta pàgina simularem una experiència de laboratori de dissenyo fàcil que permet determinar el mòdul de Young d'un material.

Es farà servir una barra empotrada d'un material determinat, de longitud L, d'amplària a i de gruix b. Se'n fixarà un dels extrems i s'aplicarà una força en l'extrem lliure. Mesurarem el desplaçament de l'extrem lliure y (L), o fletxa, en funció de la força aplicada F, i comprovarem la relació de proporcionalitat, mentre la flexió de la barra siga petita.

Tot seguit examinarem la teoria de la flexió d'una biga volada en detall, i calcularem el desplaçament de l'extrem lliure quan s'hi aplica una força que produeix una flexió considerable.

Aques exemple permet practicar amb procediments numèrics aplicats al:

• Càlcul de l'arrel d'una equació
• Integral definida

Una biga o una barra prima són sòlids homogenis i isòtrops que tenen una longitud gran en comparació amb les dimensions de la secció trasversal.

Quan una biga flexiona degut a les forces exteriors que s'apliquen, hi ha algunes parts de la biga que s'acurten i hi ha altres zones que s'allarguen. Hi ha una línia, però, anomenada neutra, que ni s'acurta ni s'allarga. Aquesta línia està en el centre de gravetat de la secció trasversal i és la que representarem en les simulacions d'aquesta pàgina i de la següent.

Flexions petites

Considerem una barra prima de longitud L en posició horitzontal, empotrada per un extrem i sotmesa a una força vertical F en l'extrem lliure. Determinarem la forma de la barra i les coordenades (x_f, y_f) de l'extrem lliure per a flexions petites de la barra.

Suposarem que:

• La barra té una longitud L molt major que les dimensions de la seua secció trasversal, i que la deformació deguda al propi pes és negligible.

• Que la secció de la barra no canvia quan es dobla. Quan el gruix de la barra és petit en comparació amb el radi de curvatura, la secció trasversal canvia molt poc.

• Que en aquestes condicions és aplicable l'equació d'Euler-Bernoulli que relaciona el moment flector M de la força aplicada i el radi de curvatura ρ de la barra deformada

El radi de curvatura d'una funció y(x) és

Per a pendents petites, (dy/dx)² ≈ 0, i

Si negligim el pes de la pròpia barra, el moment de la força F aplicada en l'extrem lliure, respecte del punt P(x,y) és M = F(x_f - x) ≈ F(L- x)

Integrem dues vegades amb les condicions inicials següents, x = 0, y = 0, dy/dx = 0, i obtenim

El desplaçament y_f de l'extrem lliure, x = L, és proporcional a la força F aplicada

• Y és el mòdul de Young del material

• I s'anomena moment d'inèrcia de la secció trasversal respecte de la fibra neutra

Es considera que l'aproximació de flexions petites (el desplaçament y de l'extrem lliure de la barra és proporcional a la força F aplicada) dóna resultats acceptables fins a un valor determinat del paràmetre adimensional α < 0.375 (vegeu al final de l'apartat següent) o bé fins a un valor màxim de la força aplicada, F_m= 2Y·I·α/L².

Activitats

S'introdueix:

1. El material del qual està feta la barra, en el control de selecció Material
2. La longitud de la barra L, en cm, actuant sobre la barra de desplaçament Longitud
3. El gruix b de la barra, en mm, actuant sobre la barra de desplaçament Espesor.

Es pitja el botó Nou.

4. Es pitja el botó esquerre del ratolí sobre un pes de

• 10 g
• 25 g
• 50 g

i s'arrossega amb el ratolí i es penja de l'extrem lliure de la barra. El programa interactiu converteix el pes (g) en força (N) multiplicant per 10 i dividint per 1000. Per exemple, un pes de 100 g equival a una força de 1 N.

5. Quan es deixa de pitjar el botó esquerre del ratolí es calcula i es representa la flexió de la barra. Es mesura el desplaçament de l'extrem lliure. Les parelles de dades: força (en N) i desplaçament (en cm) es guarden en el control àrea de text situat a l'esquerre de la miniaplicació (applet).
6. Es pitja el botó esquerre del ratolí sobre un altre pes, s'arrossega amb el ratolí i es penja del ganxo inferior del pes precedent. Es poden penjar de l'extrem lliure de la barra fins a quatre pesos de cada tipus, un màxim de 12 pesos que equivalen a una força de 340 g = 3.4 N.
7. Quan s'ha recol·lectat un nombre de dades suficient es pitja el botó gràfica. El programa representa les dades "experimentals" i la recta que descriu el comportament de l'extrem lliure de la barra quan s'hi aplica una força F. En la part superior de la miniaplicació (applet) es mostra el valor del pendent de la recta.

Quan la força F aplicada és major que la força màxima F_m= 2Y·I·0.375/L² el programa interactiu no permet que es pengen de l'extrem lliure pesos addicionals, ja que se suposa que l'aproximació de flexions petites deixa de ser aplicable.

Exemple

• Siga L= 30 cm = 0.3 m la longitud de la barra
• Siga b = 0.78 mm = 0.00078 m el gruix de la barra
• L'amplària a = 0.03 m està fixada pel programa interactiu i no es pot canviar
• Triem l'acer com a material

Després de fer l'experiència, el pendent de la recta que relaciona la desviació de l'extrem lliure y(L) amb la força que F s'hi aplica és

m = 3.683 cm/N = 0.03683 m/N

El moment d'inèrcia I val

Apartir del pendent (coeficient de proporcionalitat de F) calculem el mòdul de Young Y

Podem comparar els càlculs de Y amb els que proporciona el programa interactiu si pitgem en el botó Resposta.

Estudi de la flexió d'una biga volada

Considerem una barra prima de longitud L en posició horitzontal, encastada per un extrem i sotmesa a una força vertical F en l'extrem lliure. Determinarem la forma de la barra i les coordenades (xf, yf) de l'extrem lliure per a flexions grans de la barra.

Suposarem que:

• La barra té una longitud L molt major que les dimensions de la seua secció trasversal i que la deformació deguda al seu pes és negligible.

• Que la secció de la barra no canvia quan es dobla. Quan el gruix de la barra és petit en comparació amb el radi de curvatura, la secció trasversal canvia molt poc.

• Que en aquestes condicions és aplicable l'equació d'Euler-Bernoulli que relaciona el moment flector M de la força aplicada i el radi de curvatura ρ de la barra deformada

on Y és el mòdul de Young del material i I és el moment d'inèrcia de la secció trasversal respecte de l'eix neutre.

El radi de curvatura és ρ = ds/dφ

El moment flector M de la força F aplicada en l'extrem lliure de la barra respecte del punt P(x,y) és M = F(x_f - x)

Derivem respecte de s i tenim en compte que cosφ = dx/ds

Per tal de determinar φ(s) es resol l'equació diferencial amb les condicions inicials següents:

Per tal d'obtenir una solució de l'equació diferencial multipliquem per dφ/ds l'equació diferencial

La constant d'integració la determinem a partir de les condicions inicials especificades anteriorment

La longitud L de la barra i les coordenades x i y de cadascun dels seus punts s'obtenen així

A partir de la força F aplicada en l'extrem lliure de la barra i coneguda la longitud L de la barra es resol la primera equació per a calcular l'angle φ₀ que forma la recta tangent a la barra en l'extrem lliure amb la part negativa de l'eix horitzontal X.

Una vegada es coneix aquest angle φ₀ es calcula l'abscissa x donant valors a l'angle φ en l'interval (0,φ₀).

El càlcul de l'ordenada y és més complicat perquè per a cada valor de l'angle φ s'ha de trobar una integral definida en l'interval (0,φ) mitjançant procediments numèrics.

Càlcul numèric

Les equacions anteriors les podem expressar

on α és un paràmetre adimensional que engloba les característiques geomètriques de la barra, del material del qual està fet i de la força aplicada en l'extrem lliure.

Càlcul de φ₀

Comencem amb la primera equació, que determina l'angle φ₀ que forma la recta tangent a la barra en l'extrem lliure amb la parte negativa de l'eix horitzontal X, com es veu en la figura,

Requereix dos pasos:

1. Calcular la integral

2.      Calcular l'arrel de l'equació

f(φ₀) = 0

La integral es pot expressar com la suma de dos integrals el·líptiques de primera espècie si fem canvis de variable. El primer canvi és θ = φ + π/2

El segon canvi de variable és

Finalment, calculem l'arrel de l'equació

El programa interactiu que hi ha al final d'aquesta pàgina calcula les integrals el·líptiques de primera espècie E(k, π/2) i E(k,f₀) mitjançant el procediment de Carlson (vegeu Numerical Recipes in C, Special functions, capítol 6é. L'arrel de l'equació s'obté pel procediment del punt mitjà.

Càlcul de les coordenades (x/L, y/L) de cada punt de la barra deformada

El càlcul de x/L no presenta cap dificultat. Conegut φ₀ es calcula x/L per a cada angle φ en l'interval (0,φ₀). La posició x_f de l'extrem lliure és

El càlcul de y/L és més problemàtic. Conegut φ₀ es determina l'ordenada y/L per a cada angle φ en l'interval (0,φ₀) calculant la integral definida,

pel procediment numèrico de Simpson.

Quan φ → φ₀ el denominador de la integral tendeix a zero. L'ordenador no calcula correctament l'ordenada y_f/L de l'extrem lliure de la barra quan φ = φ₀. Per tal de solucionar aquest inconvenient emprem el procediment d'interpolació que es mostra en la figura.

• Calculem les coordenades (x/L,y/L) per a l'angle φ = φ₀ - Δφ, on Δφ ésun angle petit.
• Calculem l'abscissa x_f/L per a l'angle φ₀

L'ordenada y_f/L s'obté resolent el triangle rectangle de la figura

Aproximació de flexions petites

Per a flexions petites, quan l'angle φ₀ és petit, substituïm sinφ ≈ φ i escrivim l'equació que calcula φ₀

El resultat és φ₀ = α.

Les coordenades (x,y) de cada punt de la barra s'aproximen a

Per a l'extrem lliure de la barra, quan φ = φ₀ = α, x_f = L, cosa que implica que en l'aproximació de flexions petites no hi ha desplaçament horizontal de l'extrem lliure de la barra.

L'ordenada y la podem aproximar

Integrem per parts i després de fer algunes simplificacions obtenim l'expressió següent

Les coordenades x i y les hem expressat en funció del paràmetre φ; si l'eliminem obtenim la funció y = f(x) que descriu la flexió de la barra quan s'aplica una força F en l'extrem lliure.

Per als extrems lliures de la barra, quan φ = φ₀= α, x = L,

Límit de l'aproximació de flexions petites

En la figura es mostra la desviació y/L de l'extrem lliure de la barra en funció del paràmetre adimensional α:

• En color roig, els resultats del càlcul, emprant els procediments numèrics descrits en l'apartat anterior
• En color blau, la recta y/L=2α/3, aproximació de flexions petites.

Podem considerar que l'aproximació lineal produeix resultats acceptables fins a un valor límit determinat del parametre α_m, o bé, fins a un valor màxim determinat de la força aplicada F_m en els extrems lliures de la barra

Activitats

S'introdueix:

• El paràmetre adimensional α, proporcional a la força F sobre l'extrem lliure, actuant en la barra de desplaçament força

Es pitja el botó Calcular.

Es representa una barra de longitud L=1 m deformada per la força F aplicada en l'extrem lliure. Es proporcionen les dades de les coordenades (x_f,y_f) d'aquest punt i l'angle φ₀ que forma la recta tangent a la barra en l'extrem lliure amb l'eix horitzontal X.

Exemple

Siga un regle d'acer de longitud L= 30 cm, secció rectangular a = 3.04 cm i b = 0.078 cm. El mòdul de Young és Y = 2.06·10¹¹ N/m².

El moment d'inèrcia I val

Quan apliquem en l'extrem lliure de la barra una força tal que α = 0.25, és a dir,

observem en el programa interactiu que es troba en x_f/L= 0.98 i y_f/L= 0.16, és a dir, a x_f = 29 cm, i y_f = 4.8 cm de l'extrem fix.

Apliquem l'aproximació de flexions petites,

En l'aproximació de flexions petites, x_f ≈ L, no hi ha desviació apreciable en el sentit horitzontal i la desviació en el sentit vertical y_f és proporcional a la força F aplicada en l'extrem lliure.

Quan apliquem en l'extrem lliure de la barra una força tal que α = 1.25, és a dir,

observem en el programa interactiu que es troba en x_f/L= 0.79 i y_f/L= 0.56, és a dir, a x_f = 24 cm, i y_f = 17 cm de l'extrem fix.

Apliquem l'aproximació de flexions petites,

L'aproximació de flexions petites deixa de ser vàlida perquè hi ha una desviació apreciable en el sentit horitzontal i la desviació en el sentit vertical y_f ja no és proporcional a la força F aplicada en l'extrem lliure.

Suggerim al lector que represente tres gràfiques: en l'eix X, del paràmetre adimensional α, en l'eix Y:

1. L'angle φ₀ que forma la recta tangent a la barra en l'extrem lliure amb l'eix horitzontal

2. La desviació de l'extrem lliure al llarg de l'eix X, δ_x= 1.0 - x_f

3. La desviació de l'extrem lliure al llarg de l'eix Y,  δ_y = y_f