Sòlid rígid

Estàtica. Elasticitat

Moment d'una força

Mesura del mòdul
d'elasticitat

Flexió d'una biga

Vinclament d'una barra

Mesura del mòdul
de cisallament

Catenària

Càlcul numèric

Activitats

Referències

Considerem una barra prima de longitud L en posició vertical, encastada en l'extrem inferior i sotmesa a una força vertical F en l'extrem superior. Determinarem la forma de la barra i les coordenades (xf, yf) de l'extrem lliure.

Aquest exemple és semblant a l'estudiat en la pàgina anterior; la diferència rau en que és necessari aplicar una força F major que un valor crític F₀ per tal que la barra és desvie de la posició d'equilibri inicial.

Descripció

Suposarem que:

• El material del qual està feta la barra és elàstic, lineal, homogeni i isòtrop, que la relació entre la tensió i la deformació ve donada per la llei de Hooke.

• La longitud L és molt major que les dimensions de la seua secció trasversal i que la deformació deguda al propi pes és negligible.

Que en aquestes condicions és aplicable l'equació d'Euler-Bernoulli que relaciona el moment flector M de la força aplicada i el radi de curvatura ρ de la barra deformada,

on Y és el mòdul de Young del material i I és el moment d'inèrcia de la secció trasversal respecte de l'eix neutre.

El radi de curvatura ρ = ds/dφ és

El moment  flector M de la força F aplicada en l'extrem lliure de la barra respecte del punt P (x,y) és M = F(xf - x)

Derivem respecte de s i tenim en compte que sinφ = dx/ds,

que és una equació diferencial semblant a la que descriu el moviment d'un pèndol. Per tal de determinar φ(s) es resol l'equació diferencial amb les condicions inicials següents:

ja que en l'extrem lliure de la barra, x = x_f o s = L, el moment M és zero i, per tant, dφ/ds = 0.

Es tracta de condicions inicials que s'avaluen en diferents punts, s = 0 i s = L. Per exemple, per a un pèndol que es deixa lliure en desviar-lo un angle θ₀ de la posició d'equilibri, les condicions inicials són t = 0, θ = θ₀, dθ/dt = 0, que s'avaluen les dues en l'instant inicial.

En la taula següent establim analogies entre les magnituds que descriuen el moviment d'un  pèndol simple i el vinclament d'una barra encastada en un extrem.

Per tal d'obtenir una solució de l'equació diferencial multipliquem per dφ/ds l'equació diferencial

La constant d'integració la determinem sabent que φ(L) = φ₀ on φ₀ és el pendent desconegut en l'extrem lliure de la barra, i que dφ/ds = 0 per a s = L,

La longitud L de la barra i les coordenades x i y de cadascun dels seues punts s'obtenen de

Donada la força F aplicada en l'extrem lliure de la barra i coneguda la longitud L de la barra, es resol la primera equació per a calcular l'angle φ₀ que forma la recta tangent a la barra en l'extrem lliure amb l'eix vertical Y.

Una vegada es coneix aquest angle φ₀ es calcula l'abscissa x donant valors a l'angle φ en l'interval (0, φ₀).

El càlcul de l'ordenada y és més complicat perquè per a cada valor de l'angle φ hi s'ha de trobar una integral definida en l'interval (0, φ) emprant procediments numèrics.

Càlcul numèric

Les equacions anteriors les podem expressar de forma alternativa

on α és un paràmetre adimensional que engloba les característiques geomètriques de la barra, del material del qual està feta i de la força aplicada en l'extrem lliure.

Càlcul de φ₀

Comencem amb la primera equació, que determina l'angle φ₀ que forma la recta tangent a la barra en l'extrem lliure amb la direcció vertical, com es veu en la figura,

Requereix dos passos:

1.      Calcular la integral

2.      Calcular l'arrel de l'equació

f(φ₀) = 0

La integral es pot reduir a una integral el·líptica de primera espècie,

Es fa tot seguit el canvi de variable

El programa interactiu del final d'aquesta pàgina calcula les integrals el·líptiques de primera espècie, E(k, π/2), mitjançant el procediment de Carlson (vegeu Numerical Recipes in C, Special functions, capítol 6é). L'arrel de l'equació s'obté pel procediment del punt mitjà,

En el pèndol simple, donada l'amplitud θ₀ calculem el període P/P₀ resolent la integral el·líptica per procediments numèrics o consultant en una taula d'integrals el·líptiques de primera espècie, E(k, π/2) (Puig Adam P., Cálculo Integral. Editorial Biblioteca Matemática 1972,  pàg. 72),

En canvi, en aquest problema, donat el paràmetre adimensional α que descriu les característiques de la barra, hem de determinar l'angle φ₀ que forma la recta tangent a la barra en l'extrem lliure amb la direcció vertical, emprant el procediment numèric del punt mitjà.

Càlcul de les coordenades (x/L, y/L) de cada punt de la barra deformada

El càlcul de x/L no presenta cap dificultat. Conegut φ₀ es calcula x/L per a cada angle φ en l'interval (0, φ₀). La posició x_f de l'extrem lliure és

El càlcul de y/L és més problemàtic. Conegut φ₀ es determina l'ordenada y/L per a cada angle φ en l'interval (0, φ₀) calculant la integral definida,

pel procediment numèric de Simpson.

Quan φ → φ₀ el denominador de la integral tendeix a zero. L'ordenador no calcula correctament l'ordenada y_f/L de l'extrem lliure de la barra quan φ = φ₀. Per tal de solucionar aquest inconvenient emprem el procediment d'interpolació que es mostra en la figura.

• Calculem les coordenades (x/L, y/L) per a l'angle φ = φ₀ - Δφ, on Δφ és un angle petit.
• Calculem l'abscissa x_f/L per a l'angle φ₀.

L'ordenada y_f/L s'obté resolent el triangle rectangle de la figura:

Aproximació de flexions petites

Quan els angles φ i φ₀ són petits,

i l'equació que calcula l'angle φ₀ que forma la tangent a la barra en l'extrem lliure

es converteix en

La integral es resol de forma immediata si fem el canvi de variable φ = φ₀·sent.

Curiosament, l'angle φ₀ desapareix de la integral; això implica que l'angle φ₀ no depén de la força F aplicada en l'extrem de la barra per a flexions petites.

Examinarem el comportament de la barra elàstica en funció del paràmetre adimensional

Quan F/F₀ ≤ 1 la barra no es desvia de la posició d'equilibri inicial.

Quan F/F₀ > 1 la barra flexiona i l'extrem lliure es desvia de la posició inicial d'equilibri:

• horitzontalment, x_f

• verticalment, 1-y_f.

Activitats

S'introdueix:

• El quocient F/F₀ ≥ 1, actuant sobre la barra de desplaçament Força.

Es pitja el botó Calcular.

Es representa una barra de longitud L = 1 m deformada per la força F aplicada en l'extrem lliure. Es proporcionen les dades de les coordenades (x_f, y_f) d'aquest punt i l'angle φ₀ que forma la recta tangent a la barra en l'extrem lliure amb l'eix vertical Y.

Se suggereix al lector que represente tres gràfiques: en l'eix X, el quocient F/F₀ i en l'eix Y:

1. l'angle φ₀ que forma la recta tangent a la barra en l'extrem lliure amb l'eix vertical

2. la desviació al llarg de l'eix X de l'extrem lliure, δ_x= x_f

3. la desviació al llarg de l'eix Y de l'extrem lliure δ_y = 1.0-y_f 

Exemple

Siga un regle d'acer de longitud L = 30 cm, secció rectangular a = 3.04 cm, i b = 0.078 cm. El mòdul de Young és Y = 2.06·10¹¹ N/m².

El moment d'inèrcia I val

La força crítica és F₀ = 6.79 N.

Quan apliquem en l'extrem lliure de la barra una força tal que F/F₀ = 1.5, és a dir, F = 10.18 N, observem que es troba en x_f/L = 0.79 i y_f/L = 0.36, és a dir, a x_f = 23.7 cm, i y_f = 10.8 cm de l'extrem fix.