Sólido rígido

Ecuación del movimiento

Balance energético

Actividades

Referencias

En la página titulada rodando por un plano inclinado hemos estudiado el movimiento de un aro, un cilindro y una esfera que bajan rodando a lo largo de un plano inclinado. En esta página, estudiamos el movimiento de estos cuerpos sobre una superficie en forma de cicloide.

Ecuación del movimiento

Consideremos de nuevo una rueda (aro, cilindro o esfera) de masa m y de radio r y cuyo momento de inercia I_c=k·mr² siendo k=1 para una rueda en forma de un aro, k=1/2 para un cilindro o disco, y k=2/5 para una esfera.

Las ecuaciones del movimiento de la rueda

Dibujamos las fuerzas sobre el cuerpo que rueda y formulamos las ecuaciones del movimiento

Movimiento de traslación del centro de masas mg·sinq -Fr=mac Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas Fr·r=Ic·a Condición de rodar sin deslizar ac=a ·r

Despejando en las tres ecuaciones la aceleración a_c del c.m.

La ecuación del camino

Pongamos la rueda sobre un camino cualesquiera. Para que la rueda describa un MAS es necesario que la aceleración a_c de su c.m. sea proporcional al desplazamiento s (arco) y de sentido contrario a éste. La constante de proporcionalidad es el cuadrado de la frecuencia angular w del MAS.

Sea ds un arco infinitesimal en la posición (x, y),

La proyección de ds sobre los ejes horizontal X y vertical Y son, tal como se ve en la figura de la derecha.

Integrando x e y con las condiciones iniciales q =0, x=0, y=0.

que son de nuevo las ecuaciones de una cicloide generada por el círculo de radio R igual a

Hemos demostrado, por tanto, que un aro, un cilindro o una esfera que ruedan a lo largo de un camino en forma de cicloide describen un MAS, y hemos calculado su periodo P.

Si tomamos como radio R del círculo que genera la cicloide la unidad (1 m), y g=9.8 m/s². Los periodos de las oscilaciones son respectivamente

Posición de la rueda en función del tiempo.

Cuando un cuerpo describe un MAS su desplazamiento (en este caso el arco s) se expresa en función del tiempo de acuerdo con la ecuación.

s=A·sin(w t+j )
v_c=w s₀·cos(w t+j)

Donde la amplitud A y la fase inicial j se determina a partir de las condiciones iniciales, en nuestro caso t=0, s=s₀, v_c=0. La rueda parte de la posición s₀ con velocidad inicial cero.

s=s₀·sin(w t+p/2)=s₀·cos(w ·t)

La velocidad v_c del c.m. de la rueda se obtendrá derivando s respecto del tiempo

v_c=-w s₀·sin(w t)

La longitud del arco s a lo largo del camino que va del origen al punto donde se encuentra la rueda, la podemos relacionar con la posición x e y de la rueda o del parámetro q .

x=R(2q +sin2q )
dx=2R(1+cos2q )·dq

y=R(1-cos2q )
dy=2R·sin2q ·dq

La longitud del arco s será

Balance energético

El balance energético es similar al que efectuamos al estudiar el movimiento de un cuerpo que baja rodando por un plano inclinado.

Cuando la rueda se encuentra en la posición dada por el arco s a lo largo de la cicloide, o a una altura y sobre el origen. La energía potencial es

La energía cinética es la suma de la energía cinética de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por c.m.

donde se ha tenido en cuenta la relación entre ambas velocidades v_c=w ·r para que ruede sin deslizar.

La suma de la energía cinética E_k y potencial E_p es constante e igual a

Actividades

Se introduce

• La posición inicial s₀ (longitud inicial del arco de la cicloide), actuando en la barra de desplazamiento titulada Arco inicial
• El cuerpo que rueda, en el control de selección titulado Cuerpo.
• El radio de la cicloide se ha fijado en R=1 m

Se pulsa el botón titulado Inicio, y a continuación Empieza.

Observamos como el cuerpo rueda sin deslizar por un camino en forma de cicloide. La ecuación del movimiento es

s=s₀·cos(w ·t)

Donde s es la longitud del arco de cicloide y ω la frecuencia angular del MAS

En la parte superior, se muestra el balance energético en un diagrama en forma de tarta. La energía potencial E_p y la energía cinética E_k como suma de la energía cinética de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.

Para realizar otro ensayo, se pulsa el botón Inicio, se modifican los parámetros (se elige otro cuerpo o se cambia la posición inicial de partida) y se pulsa el botón titulado Empieza.