Sólido rígido |
Movimiento general de un sólido rígido Composición de movimientos La rueda de Maxwell Equilibrio rotación-traslación(I) Fuerza sobre una rueda Rodando por un plano inclinado Equilibrio rotación-traslación(II) Deformaciones de la rueda y el plano Caja sobre un plano inclinado Comportamiento oscilatorio
Percusión en una bola de billar Desplazando el plano sobre el que se apoya la rueda Partícula en el borde de un aro que rueda Cuerpo que rueda sobre una cicloide Curvas cicloidales La rueda cuadrada |
Velocidades del
c.m. inmediatamente después del choque Velocidades angulares de rotación inmediatamente después del choque |
|||||||||||||
| En el capítulo de dinámica estudiamos las colisiones frontales de dos partículas, aplicando el principio de conservación del momento lineal y la definición de coeficiente de restitución. En esta página, vamos a estudiar los choques frontales de dos esferas del mismo radio aunque pueden estar hechas de distintos materiales. Esta situación nos va a permitir advertir al lector sobre la limitación de la aplicación del principio de conservación del momento lineal al choque de dos esferas.
Velocidades del c.m. inmediatamente después del choque
Sean dos partículas de masas m1 y m2 que tienen velocidades iniciales u1 y u2 antes del choque. Para calcular las velocidades v1 y v2 de los c.m. de las esferas después del choque.
Despejamos del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, las velocidades v1 y v2 del c.m. de las esferas después del choque
donde M=m2/m1.
Velocidades angulares de rotación inmediatamente después del choqueLas esferas ruedan sin deslizar antes del choque, luego sus velocidades angulares de rotación valen u1/r y u2/r respectivamente. Siendo r el radio de las esferas.
Las fuerzas de fricción en el momento del choque producen un cambio en la velocidad angular de las esferas. Vamos a determinar las velocidades angulares de las esferas w1 y w2 inmediatamente después del choque. Sea t el tiempo que las esferas permanecen en contacto, en el momento del choque. Impulso linealLa fuerza N1 que ejerce la segunda esfera sobre la primera en el momento del choque, hace que la primera esfera cambie su velocidad de u1 a v1.
La fuerza N2 que ejerce la primera esfera sobre la segunda en el momento del choque, hace que la segunda esfera cambie su velocidad de u2 a v2.
Impulso angular.La primera esfera desliza sobre la superficie de la segunda esfera. La fuerza de rozamiento R1 que ejerce la segunda esfera hace que la velocidad angular de rotación de la primera esfera cambie de u1/r a w1.
La segunda esfera desliza sobre la superficie de la primera esfera. La fuerza de rozamiento R2 que ejerce la primera esfera hace que la velocidad angular de rotación de la segunda esfera cambie de u2/r a w2.
Relación entre el impulso lineal y angularSi m es el coeficiente de rozamiento por deslizamiento entre ambas superficies puestas en contacto, existe una relación entre las normales N1 y N2 y las fuerzas de rozamiento R1 y R2. R= m N Lo que se traduce en las siguientes relaciones entre las velocidades lineales y angulares. rm (m1v1-m1u1)=
I1w 1- I1u1/r donde I1 e I2 son los momentos de inercia de las esferas del mismo radio r respecto de un eje que pasa por su centro I=2mr2/5 y M=m2/m1. Despejando las magnitudes desconocidas w1 y w2
Como puede comprobarse no se cumple el principio de conservación del momento angular I1u1/r+I2u2/r=I1w 1+I2w 2
Movimiento después del choqueInmediatamente después del choque no se cumple en general, que las esferas rueden sin deslizar, vc¹ w ·r. Por tanto, como vimos en la página Equilibrio entre el movimiento de traslación y rotación, las fuerzas de rozamiento entre las esferas y el carril sobre el que se mueven restablecerán este equilibrio hasta que se cumpla vc=w r. Más abajo, estudiaremos con detalle ejemplos concretos de los distintos movimientos. Sean m1 y m2 o bien mi (i=1, 2), los coeficientes se las fuerzas de rozamiento entre cada una de las esferas y el carril. Puede ocurrir que la velocidad del punto P de contacto de la rueda con el carril sea positiva o negativa
Equilibrio rotación-traslaciónA partir de las ecuaciones de la cinemática del movimiento rectilíneo y circular uniformemente acelerado, calculamos la velocidad del c.m. vc y la velocidad angular de rotación w . vc=v0+ac·t En ambos casos vP<0 y vP>0, la velocidad del punto P de contacto de la esfera con el carril se anula vP=0, en el instante t tal que Vc=w ·r, la esfera rueda sin deslizar. La velocidad final del c.m. de la esfera es independiente del coeficiente de rozamiento mi (i=1, 2) entre la esfera y el carril. Movimiento de rodar sin desliazarPara cada una de las esferas, los instantes t1 y t2 para los cuales empiezan a rodar sin deslizar a partir del momento del choque, son respectivamente.
Las velocidades finales constantes V1 y V2 de las esferas a partir de los instantes t1 y t2 cuando ruedan sin deslizar son, respectivamente:
donde v1 y v2 son las velocidades del c.m. de cada una de las esferas justamente después del choque, y ω1 y ω2 son las velocidades angulares que adquieren las esferas en dicho instante, fórmulas (1) y (2). Los coeficientes de rozamiento μ1 y μ2 no intervienen en la velocidad final V1 y V2 de las esferas. Solamente en el tiempo t1 y t2 que tardan en alcanzar estas velocidades.
Choques elásticosComo caso particular importante, consideremos aquél en el que el choque es elástico e=1, y la segunda esfera está inicialmente en reposo u2=0. En el momento del choque Las velocidades de los centros de masa justamente después del choque se calculan a partir de la conservación del momento lineal y de la energía cinética m1u1=m1v1+m2v2
Despejando v1 y v2 del sistema de dos ecuaciones
La relación entre el impulso angular y el impulso lineal en el momento del choque, nos permite obtener las velocidades angulares ω1 y ω2 de las esferas justamente después del choque. Recuérdese que la segunda esfera está inicialmente en reposo u2=0 rm
(m1v1-m1u1)= I1w
1- I1u1/r Donde r es el radio de las esferas, I1 e I2 sus momentos de inercia. Despejamos ω1 y ω2 en el sistema de dos ecuaciones
Movimiento después del choque En general, después del choque no se cumple la condición de rodar sin deslizar, v1= w1·r y v2= w2·r. La fuerza de rozamiento actúa incrementando la velocidad de traslación y disminuyendo la velocidad de rotación o viceversa, hasta que se cumpla la condición de rodar sin deslizar. Las ecuaciones del movimiento de cada una de las esferas, las hemos estudiado en el apartado anterior y se resumen en éste. vc=v0+ac·t donde
mi (i=1, 2), son los coeficientes se las fuerzas de rozamiento entre cada una de las esferas y el carril, e I es el momento de inercia de la esfera.
En ambos casos, la velocidad final constante cuando se alcanza la condición de rodar sin deslizar vc= w·r es independiente del coeficiente de rozamiento mi entre la esfera y el carril.
Cuando ruedan sin deslizar La velocidad final V1 de la primera esfera es
La velocidad final V2 de la segunda esfera es
Llamando M=m2/m1 y teniendo en cuenta que los momentos de inercia de las esferas son I1=2m1r2/5 y I2=2m2r2/5. Las velocidades finales son
μ es el coeficiente de rozamiento entre las superficies de las dos esferas en el momento del choque EjemplosEn este apartado proporcionamos valores numéricos a
Ejemplo 1 Sea u1=0.75 y u2=-0.5, m =0.14, e=0.72 y M=1.0, esferas de la misma masa y radio. 1.-Velocidades v1 y v2 de las esferas inmediatamente después del choque, fórmulas (1)
2.- Velocidades angulares w1 y w2, inmediatamente después del choque, fórmulas (2)
3.-Movimiento de las esferas después del choque.
Ejemplo 2 Sea u1=0.75 y u2=0.5, m =0.14, e=0.72 y M=0.5, esferas de distinta masa pero del mismo radio. 1.-Velocidades v1 y v2 de las esferas inmediatamente después del choque, fórmulas (1)
2.- Velocidades angulares w1 y w2, inmediatamente después del choque, fórmulas (2)
3.-Movimiento de las esferas después del choque.
0.7867-0.05·9.8· t2=0.6762 m/s Ejemplo 3 Examinar un caso de choque elástico, por ejemplo. Sea u1=0.75 y u2=0.0, m =0.14, e=1.0 y M=0.2. Comprobar que las velocidades finales de las esferas son V1=0.5464, y V2=0.7679, introduciendo los datos en las fórmulas al final del apartado Choques elásticos
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Se pulsa los botones titulados Pausa/Continua y Paso para acercarse al momento del choque y tomar los valores de las velocidades del c.m. de cada una de las esferas v1 y v2 y las velocidades angulares de las esferas w1 y w2 después del choque. En el applet podemos ver el balance energético de la colisión. La energía antes del choque, (suma de la energía cinética correspondiente al movimiento de traslación del c.m. y de la energía cinética correspondiente al movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.) y la energía después del choque en colores más claros. Se muestra mediante flechas, la velocidad del c.m. de la esfera y la velocidad del punto P de contacto entre la esfera y el carril. |
Doménech A, Casasús E, Frontal impact of rolling spheres. Phys. Educ. 26 (2) March 1991, pp. 186-189.
Choque frontal de
dos esferas.
(1)
(2)
