Sòlid rígid

Dinàmica de rotació

Equació de la
 dinàmica de rotació

Moments d'inèrcia

Dinàmica de rotació
i balanç energàtic

Pèndol de torsió

Pèndol compost

El gronxador

Vareta inclinada

Escala que llisca

Llapis que cau

Pèndol de Wilberforce

Moment angular d'un sòlid rígid

Teorema de Steiner

Energia cinètica de rotació

Equació de la dinàmica de rotació

Principi de conservació del moment angular

Treball i energia en el moviment de rotació

Impuls angular

Moment angular de una partícula

Se define Moment angular de una partícula como el producto vectorial del vector posición r por el vector Moment lineal mv L=r´mv

Moment angular de un sólido rígido

Las partículas de un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen v_i=w ·r_i

En la figura, se muestra el vector Moment angular Li de una partícula de masa mi cuya posición está dada por el vector ri y que describe una circunferencia de radio Ri con velocidad vi. El módulo del vector Moment angular vale Li=rimivi Su proyección sobre el eje de rotación Z es Liz=miviricos(90-q i), es decir,

El Moment angular de todas las partículas del sólido es

La proyección L_z del vector Moment angular a lo largo del eje de rotación es

El término entre paréntesis se denomina Moment de inercia

En general, el vector Moment angular L no tiene la dirección del eje de rotación, es decir, el vector Moment angular no coincide con su proyección Lz a lo largo del eje de rotación. Cuando coinciden se dice que el eje de rotación es un eje principal de inercia. Para estos ejes existe una relación sencilla entre el Moment angular y la velocidad angular, dos vectores que tienen la misma dirección, la del eje de rotación L=Iw

El Moment de inercia no es una cantidad característica como puede ser la masa o el volumen, sino que su valor depende de la posición del eje de rotación. El Moment de inercia es mínimo cuando el eje de rotación pasa por el centro de masa.

Teorema de Steiner

El teorema de Steiner es una fórmula que nos permite calcular el Moment de inercia de un sólido rígido respecto de un eje de rotación que pasa por un punto O, cuando conocemos el Moment de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas.

El Moment de inercia del sólido respecto de un eje que pasa por O es

El Moment de inercia respecto de un eje que pasa por C es

Para relacionar I_O e I_C hay que relacionar r_i y R_i.

En la figura, tenemos que

El término intermedio en el segundo miembro es cero ya que obtenemos la posición x_C del centro de masa desde el centro de masa.

Ejemplo

Sea una varilla de masa M y longitud L, que tiene dos esferas de masa m y radio r simétricamente dispuestas a una distancia d del eje de rotación que es perpendicular a la varilla y pasa por el punto medio de la misma.